Funkcie
1.Nech f je lubovolna funkcia definovana na mnozine vsetkych prirodzenych cisel (postupnost). Potom existuje rastuca funkcia g a klesajuca funkcia h --- obe definovane na mnozine prirodenych cisel tak, ze pre vsetky n plati: f(n)=g(n)+h(n) . Dokazte.
2.Oznacme [x] take cele cislo, aby:
x-1<[x] x (tj. cela cast
cisla x)
Nech h(x)=[x/2]+[x/4]+[x/8]+...+[x/128] .
Najdite vsetky nN mensie ako 1111, pre ktore bude platit:
h(n+1)-h(n)=7.
3.Nech g je funkcia definovana pre vsetky realne cisla. Ak plati:
g(g(g(c)))=c a sucasne bude
platit:
g(g(g(g(g(c)))))=c pre nejake cR,
potom aj g(c)=c. Dokazte.
4.Nech f(x) je funkcia definovana na R, ktora nie je identicky rovna 0.
Nech pre x, y
R plati:
f(x).f(y)=f(x-y). Urcte funkciu f(x) .
5.Na intervale < 0,1 > su dane funkcie S(x)=1-x a
T(x)=1/2x. Najdite funkciu tvaru f=g1o
g2o...o gn,
kde nN a cinitele gk pre k=1, 2,...,n su same S(x) alebo T(x),
pre ktoru f(1/2)=19/32 . (g1o g2 znaci funkciu zlozenu
z funcii g1, g2)
Sisler, Jarnik: O funkcich - SMM 4
Smital: Funkcionalne rovnice