1.Dany je sestuholnik A₁A₂A₃A₄A₅A₆ (nie nutne konvexny). Nech B_i je tazisko trojuholnika A_i-1A_iA_i+1 pre i=1,2,...,6 (A₀=A₆ , A₁=A₇). Dokazte, ze B₁B₂B₃B₄B₅B₆ je stredovo sumerny sestuholnik.

2.Nech ABCD je stvorsten. Prieckou stvorstena nazveme usecku spajajucu stredy protilahlych stran stvorstena (tj. napr. stredy useciek AB,CD). Dokazte, ze existuje bod, ktorym prechadzaju vsetky tri priecky stvorstena.

3.Dana je kocka ABCDEFGH, priamky p=AB q=EH r=KG, kde K je stred usecky AE. Najdite body Xp, Yq, Zr tak, ze bod Y lezi na usecke XZ a deli ju v pomere 1:2 tj. |ZY|=2|XY|.

4.Vypocitajte, comu sa rovna ab+cd, ak viete ze: a²+b²=1; c²+d²=1; ac+bd=0. Navod: Uvazte v rovine vektory so suradnicami (a,b)(c,d).

5a.Dokazte, ze uhlopriecky konvexneho stvoruholnika su navzajom kolme prave vtedy, ked sucet stvorcov dvoch protilahlych stran sa rovna suctu stvorcov druhych dvoch protilahlych stran.

5b.Tri rovnake odmerky su do 3/4 naplnene roznymi kvapalinami. Zistite ci je mozne konecnym poctom prelievani dosiahnut aby v aspon jednej odmerke vznikla homogenna zmes. Poznamka: Kvapaliny mozno prelievat, nie vsak vylievat. Pod homogennou zmesou rozumieme zmes, ktora obsahuje rovnake mnozstvo kazdej kvapaliny. Navod: Uvazte zmesi ako vektory.

Budinsky, Smakal: Vektory v geometrii SMM 28