n+1 urcte, pre ktoreho hraca existuje
vitazna strategia. BRATISLAVSKY KORESPONDENCNY
MATEMATICKY SEMINAR
Matematicko - Fyzikalna Fakulta University Komenskeho
Jednota Slovenskych Matematikov a Fyzikov
Centrum volneho casu - IUVENTA
Mnohouholniky
1. Daniel riesi na stole tvaru nekonvexneho sedemuholnika nasledujucu ulohu: Dokazte, ze ak a,b,c su kladne racionalne cisla splnajuce rovnost
a+ b=c, tak
cisla a,b su
racionalne. Urobte to aj vy! 2a. Vrcholy konvexneho mnohouholnika s neparnym poctom stran su ofarbene niekolkymi farbami, pricom susedne vrcholy maju roznu farbu. Dokazte, ze je mozne rozdelit ho nepretinajucimi sa uhloprieckami na trojuholniky tak, ze konce kazdej uhlopriecky maju roznu farbu.
2b. V konvexnom mnohouholniku maju vsetky vnutorne uhly rovnaku velkost a z niektoreho bodu leziaceho vnutri mnohouholnika vidiet vsetky jeho strany pod zhodnymi uhlami. Dokazte, ze mnohouholnik je pravidelny.
3a. Body, ktore tvoria vrcholy pravidelneho n-uholnika
su zaradom ocislovane cislami 1,2,...,n. Dvaja
hraci hraju nasledovnu hru: V jednom tahu hrac spoji
useckou dva body s cislami rovnakej parity. Usecky sa ale
nemozu pretinat, a ani nemozu mat spolocny koncovy bod.
Hraci sa v tahoch striedaju a prehrava ten, ktory nemoze
tahat. Pre kazde prirodzene cislo n, n>3
take, ze 4 n+1 urcte, pre ktoreho hraca existuje
vitazna strategia.
3b. Dokazte, ze kazdy n-uholnik mozno rozdelit nepretinajucimi sa uhloprieckami, ktore lezia vnutri mnohouholnika na trojuholniky, a zistite (v zavislosti od n), kolko ich moze byt.
4a. Dokazte, ze ak su vsetky uhly konvexneho osemuholnika rovnake, a pomery dlzok susednych stran su racionalne cisla, potom su jeho protilahle strany zhodne.
4b. Vrcholy pravidelneho n-uholnika su ofarbene niekolkymi farbami tak, ze vrcholy ofarbene farbou j tvoria vzdy prave vrcholy nejakeho pravidelneho kj-uholnika. Dokazte, ze medzi cislami kj sa vyskytuju aspon dve rovnake.
5a. K patuholniku A1A2A3A4A5 sme nad kazdou stranou zvonku zostrojili rovnoramenne trojuholniky (nad stranou AiAi+1 zostrojime trojuholnik AiAi+1Bi so zakladnou AiAi+1). Niekde nabok si zapiseme velkosti uhlov v zostrojenych trojuholnikoch pri vrcholoch B1,B2,B3,B4,B5. Zmazeme cely obrazok, az na body B1,B2,B3,B4,B5 a zapisane velkosti uhlov. Vasou ulohou je skonstruovat povodny patuholnik A1A2A3A4A5.
5b. Dany je konvexny n-uholnik n4 taky, ze ziadne jeho tri uhlopriecky sa nepretinaju v jednom bode. Aky maximalny pocet uhlopriecok don mozno zakreslit tak, ze ho rozdeluju na trojuholniky tj v rozklade sa nevyskytuju stvoruholniky, patuholniky, atd.
Odporucana literatura
L.C.Larson: Metody riesenia matematickych
problemov
A.Vrba: Princip matematicke indukce, SMM 40
J.Sedivy: Shodnost a podobnost v konstrukcnich ulohach,
SMM 46
Priklady tejto serie vybrali Eno Kovac 1, 2b, 3a, 3b, 4b, 5b, Jano Babela 1, 4a a Tina Gancarova 2a, 5a.