1. Rieste rovnicu (n-4)² = p³ + 9 , kde n je cele cislo a p je prvocislo.

2a. Dokazte, ze rovnica p² + q² = r² + s² + t² , kde p,q,r,s,t su prvocisla, nema riesenie.

2b. Nech p a p²+2 su prvocisla. Dokazte, ze aj cislo p³+2 je prvocislo.

3a. Dokazte, ze prirodzene cislo n (n>4) je prvocislom prave vtedy, ked pre vsetky prirodzene cisla x,y,u,v
z rovnosti n = x + y + u + v vyplyva xy uv.

3b. Postupnost {p_n}_n=1^oo je rekurentne definovana takto: p₁ = 2 , a pre n N, n > 1 je p_n najvacsi prvociselny delitel cisla p₁. p₂. p₃. ... . p_n-1+1. Dokazte, ze ziadny clen tejto postupnosti nie je rovny 5.

4a. Dokazte, ze ak p je prvocislo, tak cislo

2p p

je delitelne cislom p.

4b. Dokazte, ze ak p je prvocislo a n je prirodzene cislo (n p), tak cislo

n p

-

n p

je delitelne cislom p (pricom [x] znamena celu cast realneho cisla x).

5a. Dokazte, ze ku kazdemu prvocislu p existuju cele cisla u,v take, ze p|1+u²+v².

5b. Zlomok q/p, kde p 5 je neparne prvocislo, je napisany v desatinnom (periodickom) tvare. Dokazte, ze pocet cislic v (najmensej) periode je parny prave vtedy, ked ich aritmeticky priemer je rovny 9/2.

Priklady tejto serie vybrali Eno Kovac (1, 2b, 3a, 4a, 5a), Juraj Foldes (3b, 4b, 5b) a Jan Spakula (2a).