BRATISLAVSKY KORESPONDENCNY MATEMATICKY SEMINAR
Matematicko - Fyzikalna Fakulta University Komenskeho
Jednota Slovenskych Matematikov a Fyzikov
Centrum volneho casu - IUVENTA

Skolsky rok 1998/99 - 1. seria letnej casti

Konecno a Nekonecno

1. Pre prirodzene cislo n nech G(n) znamena jeho ciferny sucet (ak je zapisane v desiatkovej sustave). Dokazte, ze pre kazde prirodzene cislo n je nekonecna postupnost G(n), G(G(n)), G(G(G(n))), ... od nejakeho clena konstantna. Najdite tuto konstantu pre n=19992000.

2a. Na priamke je danych konecne vela (aspon pat) bodov. Kazdy z nich je zafarbeny jednou zo styroch farieb, pricom kazdou farbou je zafarbeny aspon jeden bod. Dokazte, ze na tej priamke existuje usecka, ktora obsahuje po prave jednom bode z nejakych dvoch farieb a po aspon jednom bode zo zvysnych dvoch farieb.

2b. Nekonecna postupnost prirodzenych cisel a1 < a2 < a3 < ... splna podmienky a1=1 , an+1 2n . Dokazte, ze pre lubovolne prirodzene cislo n existuju jej cleny ap, aq take, ze ap - aq = n .

3a. Nech n je prirodzene cislo nesudelitelne s cislami 2 a 5. Dokazte, ze potom sa v desatinnom zapise cisla nachadza taky usek, ktory je delitelny n (tento usek berieme ako nejake prirodzene cislo; napr. prve tri cifry za desatinnou ciarkou nam daju cislo 141).

3b. Na konecnej mnozine S je dana operacia * (t.j. pre lubovolne a,b S je a*b S), ktora je asociativna (t.j. (a*b)*c = a*(b*c) pre lubovolne a,b,c S).
a) Dokazte, ze S obsahuje prvok u taky, ze u*u=u.
b) Najdite priklad nekonecnej mnoziny S, v ktorej taky prvok neexistuje.

4a. Najdite vsetky konecne postupnosti (c0, c1, c2, ... , cn ) nezapornych celych cisel take, ze pre kazde i=0,1,2, ... ,n sa cislo i nachadza v tejto postupnosti nachadza prave ci-krat a nenachadzaju sa v nej ziadne ine cisla.

4b. Dokazte, ze neexistuje nekonecna postupnost x1, x2, x3, ... taka, ze pre lubovolne prirodzene cisla n,p,q plati

$$|x_n| < 0,\!666 \,, \\ |x_p-x_q| > \frac1{p(p+1)} + \frac1{q(q+1)}$$

5a. Dokazte, ze existuje len konecny pocet prirodzenych cisel n takych, ze n je delitelne vsetkymi prirodzneymi cislami, ktore su mensie alebo rovne ako n a najdite tieto cisla.

5b. Dany je konecny pocet prirodzneych cisel, z ktorych kazde je mensie ako 1000, ale najmensi spolocny nasobok lubovolnych dvoch je vacsi ako 1000. Dokazte, ze sucet prevratenych hodnot tychto cisel je mensi ako 2.

Odporucana literatura

L.C.Larson: Metody riesenia matematickych problemov}

Priklady tejto serie vybrali Eno Kovac (1, 2a, 2b, 3b, 4a), Feldo Foldes (3a, 5a, 5b) a Jano Babela (4b).