1. Dany je trojuholnik ABC. Nech P,Q,R su stredy jeho taznic. Urcte pomer obsahov trojuholnikov PQR a ABC.

2a. V rovine su dane (po dvoch rozne) priamky o₁, o₂, o₃ prechadzajuce jendym bodom S, a bod A (rozny od S) leziaci na priamke o₁. Zostrojte trojuholnik ABC taky, ze priamky o₁, o₂, o₃ su postupne osami jeho vnutornych uhlov pri vrcholoch A,B,C.
Poznamka. Riesenie konstrukcnej ulohy by malo okrem ineho obsahovat aj diskusiu o pocte rieseni ulohy v zavislosti na danych podmienkach a dokaz spravnosti konstrukcie, t.j. ak nieco zostrojime, mali by sme dokazat, ze to splna vsetky podmienky ulohy.

2b. V rovine je dana polkruznica nad priemerom AB. Urcte mnozinu vsetkych bodov X roviny s nasledujucou vlastnostou: Existuje bod Y leziaci na danej polkruznici taky, ze bod X lezi na polpriamke YA a plati |AX|=|BY|.

3a. Dve kruznice sa dotykaju v bode P. Priamka dotykajuca sa jednej z nich v bode A pretina druhu kruznicu v bodoch B a C. Dokazte, ze priamka PA je osou uhla BPC alebo uhla, ktory je s nim susedny.

3b. Dany je ostrouhly trojuholnik ABC. Zostrojte trojuholnik XYZ taky, ze body X,Y,Z lezia postupne na stranach BC, CA, AB a jeho obvod je minimalny.

4a. Dany je obdlznik A₁A₂A₃A₄. Nech d je dlzka jeho uhlopriecky. Zostrojme styri kruznice k₁,k₂,k₃,k₄ postupne so stredmi A₁,A₂,A₃,A₄ a polomermi r₁,r₂,r₃,r₄, pre ktore plati r₁ + r₃ = r₂ + r₄ < d . Dalej narysujme spolocne vonkajsie dotycnice kruznic k₁ a k₃ (su dve), a takisto kruznic k₂ a k₄ (opat su dve). Tieto styri priamky nam vytvaraju stvoruholnik. Dokazte, ze mu mozno vpisat kruznicu.

4b. Strana BC trojuholnika ABC sa dotyka jemu vpisanej kruznice v bode D. Dokazte, ze stred tejto kruznice lezi na priamke, ktora prechadza stredmi useciek BC a AD.

5a. Dany je rovnoramenny trojuholnik ABC so zakladnou AB a kruznica k so stredom C a polomerom r, r<|AC|. Zostrojte vsetky body T kruznice k, pre ktore je dotycnica ku kruznici k v bode T osou uhla ATB.

5b. V rovine je dany ortonormalny suradnicovy system s pociatkom O. Nech \Cal K je konvexna mnozina bodov (v rovine), ktora je stredovosumerna podla bodu O, pricom jej obsah je vacsi nez 4. Dokazte, ze \Cal K obsahuje aspon jeden mrezovy bod (jeho obe suradnice su celociselne) rozny od bodu O.

Eno Kovac (1, 2a, 3a, 3b, 4b), Feldo Foldes (4a, 5a, 5b) a  Mato Hrinak (2b).

Prasolov - Zadaci po stereometrii
SMM Kruznice