Rovnice1.V obore realnych cisel rieste rovnicu 2x.sin(
x/2)= x2 + 1 .2a.V obore realnych cisel rieste rovnicu
x/(2+x/(2+...+x/(1+
(1+x)))) = 1,pricom x sa v rovnici vyskytuje ako citatel zlomku 2000-krat.2b.Dane su prirodzene cisla k a n. V obore kladnych realnych cisel riestesustavu rovnic
x1k + x2k + ... + xnk = 1, ( x1 + 1 )( x2 + 1 ) ... ( xn + 1 ) = 2.3a.V obore realnych cisel rieste sustavu rovnic
x|x| + y|y| = 1, [x] + [y] = 1.Poznamka.Symbol [a] znamena celu cast realneho cisla a, t.j. [a] je take (jedine) cele cislo, ze plati [a]
a < [a] + 1 .3b.Dokazte, ze existuje nekonecne vela prirodzenych cisel N takych, ze rovnica[ x3/2 ] + [ y3/2 ] = Nma aspon 2000 celociselnych rieseni.
4a.Najdite vsetky prvocisla p a vsetky prirodzene cisla k,n take, ze 2p + 3p = kn .
4b.Najdite vsetky prirodzene cisla k a n take, ze (n+1)k = n! + 1 .
5a.V obore racionalnych cisel rieste sustavu rovnic
2xy = t2 - w2 + z2,
2xz = t2 - y2 + w2,
2yz = t2 - w2 + x2.5b.V obore realnych cisel rieste sustavu rovnic
2x + x2y = y,
2y + y2z = z,
2z + z2x = x.Priklady tejto serie vybraliFeldo Foldes(2a, 3a, 3b, 5a),
Mato Hrinak (1, 4a, 4b)
a Eno Kovac (2b,5b).Odporucena literaturaL.C Larson: Metody riesenia matematickych problemov
T.Hecht, Z.Sklenarikova: Metody riesenia matematickych uloh
J.Vana: O rovnicich s parametry, SMM 8
M.Sisler, J.Andrys: O reseni algebraickych rovnic, SMM 13
A.Kufner: Symetricke mnohocleny, SMM