Matematický koktail

1. Deti zo škôlky stoja v pároch v dvoch radoch. V každom rade sa pritom počet chlapcov rovná počtu dievčat. Počet párov chlapec - dievča sa rovná počtu ostatných párov. Dokážte, že počet detí je deliteľný ôsmimi.

2a. Dvaja hráči hrajú na šachovnici hru na zajaca a líšky. Prvý hráč má jednu figúrku - zajaca, druhý hráč má niekoľko figúrok - líšky. Všetky figúrky majú štyri možné ťahy na susedné políčka (stranou). Zajac začína. Zajac môže vyjsť mimo šachovnice, pokiaľ je na kraji, čím vyhráva. Ak sa ocitnú zajac s líškou na jednom políčku, vyhrávajú líšky. Prvý hráč má jeden ťah zajacom, druhý ťahá všetkými líškami. Zajac je na vnútornom políčku šachovnice. Možno položiť dve líšky na šachovnicu tak, aby chytili zajaca?

2b. Rovnaká hra ako v 2a., ale máme tri líšky a zajac sa pohybuje dvakrát rýchlejšie.

3a. Na šachovnici sú položené kamienky. V každom ťahu posunieme niektorý kamienok na niektoré voľné susedné (stranou) políčko. Po niekoľkých ťahoch sa zistilo, že každý kamienok navštívil všetky políčka práve raz a vrátil sa na pôvodné miesto. Dokážte, že v istom okamihu nebol na svojom mieste žiadny kamienok.

3b. Svetový a európsky šampión sa určia podľa jediného turnaja hraného jednokolovo systémom každý sa každým, ktorého sa zúčastní 20 tímov, z toho k európskych. Majster Európy sa určí iba zo vzájomných zápasov medzi európskymi tímami. Aké je najväčšie k, pre ktoré jediný európsky víťaz môže byť samostatne posledný na svete? Uvažujte pritom s bodovaním ako v hokeji (2 - 1 - 0), tímy s rovnakým počtom bodov sú na rovnakom mieste.

4a. Na počítačovej obrazovke je šachovnica 98 x 98. Človek môže pomocou myši označiť ľubovoľný obdĺžnik so stranami ležiacimi na priamkach deliacich šachovnicu. Po kliknutí myšou sa potom políčka vo zvolenom obdĺžniku zmenia z čiernych na biele a/alebo naopak. Na koľko najmenej kliknutí môžeme prefarbiť šachovnicu na jednofarebnú?

4b. Nech n > 1 je prirodzené číslo. Na práve 2n políčkach tabuľky n x n sú položené kamienky. Dokážte, že vieme vybrať štyri políčka s kamienkami tak, že ich stredy tvoria vrcholy rovnobežníka.

5a. Nech náhrdelník A pozostáva z 14 korálok a náhrdelník B pozostáva z 19 korálok. Dokážte, že pre ľubovoľné n >= 1 nepárne existuje spôsob ako očíslovať korálky číslami n, n+1, ..., n+32 tak, že každé číslo je použité práve raz a susedné korálky majú navzájom nesúdeliteľné čísla.

5b. Hra Y2K sa hrá na páse 1 x 2000. Dvaja hráči striedavo dopisujú niektoré z písmen S a O do voľných políčok. Vyhrá hráč, ktorý ako prvý utvorí slovo SOS v troch za sebou idúcich políčkach. Ak sú všetky políčka vyplnené bez slova SOS, nastáva remíza. Dokážte, že druhý hráč má vyhrávajúcu stratégiu.