Priamky

1. Umiestnite v rovine 9 bodov a 9 priamok tak, že cez každý bod prechádzajú práve tri priamky a nakaždej priamke ležia práve tri body. (Nestačí nakresliť obrázok, treba popísať ako to vyzerá.)

2a. V trojuholníku ABC sú na stranách AC a BC zvolené body E a D. Priamka AF rozpoľuje uhol CAD a priamka BF je osou uhla CBE. Dokážte, že |uhol AEB| + |uhol ADB| = 2|uhol AFB|.

2b. V rovine je daný uhol a na jednom jeho ramene je daný bod A. Uvažujme všetky kružnice, dotýkajúce sa jedného ramena v bode A pretínajúce druhé rameno v bodoch B a C (pre každú kružnicu rôzne). Dokážte, že stredy kružníc vpísaných trojuholníkom ABC ležia na jednej priamke.

3a. Na stranách AB, BC a AC trojuholníka ABC ležia body D, E, F tak, aby |DE| = |BE| a |FE| = |CE|. Dokážte, že stred kružnice opísanej trojuholníku ADF leží na priamke rozpoľujúcej uhol DEF.

3b. Je daný trojuholník ABC. Dve priamky symetrické spriamkou AC podľa priamok AB a BC sa pretínajú v bode K. Dokážte, že priamka BK prechádza cez stred kružnice opísanej trojuholníku ABC.

4a. Vo vnútri trojuholníka s obsahom S je daný bod K a tri priamky prechádzajúce tak, že každú stranu pretínajú práve dve priamky. Označme S₁, S₂, S₃ obsahy novovzniknutých trojuholníkov. Dokážte nerovnosť

 1     1     1      18
--- + --- + --- >= ----
 S1    S1     S1      S

4b. Z bodu M vo vnútri obdĺžnika ABCD s obsahom S zostrojme osi ME, MF, MG, MH uhlov AMB, BMC, CMD, DMA. Označme S₀ obsah štvoruholníka EFGH. Dokážte nerovnosť

 3            1
---S < S0 <= ---S
 8            2

5a. Nech M je bod dotyku kružnice vpísanej trojuholníku ABC so stranou AB. Bod T je ľubovoľný bod strany BC rôzny od vrchola. Dokážte, že kružnice vpísané trojuholníkom BMT, MTA a ATC sa dotýkajú jednej priamky.

5b. Z bodu P zostrojme dve dotyčnice PB a PC ku kružnici pričom uhol BPC je väčší ako 90 stupňov. Na menšom oblúku BC zvoľme bod A. Dokážte, že obsah trojuholníka odrezaného z uhla BPC dotyčnicou v bode A je menší ako obsah trojuholníka ABC.