skms:zadania 3. zimnej série 1999/2000
 korešpondenčný matematický seminár  
kontakt.php

 verzia pre tlač


   

 


poradie archív info termín: 29. 11. 1999

1: (riešia len prváci) Dany je trojuholnik ABC vpiste donho pravouholnik KLMN tak, aby body K,L lezali na strane AB, bod M na strane BC, bod N na strane CA, a aby dlzka jeho uhlopriecky bola minimalna.
2: (riešia len prvácia druháci) Dokazte, ze pre kazde prirodzene n vacsie alebo rovne 3 plati: nn+1 > (n+1)n
3: A teraz pozor! Mame "tanierik" spodstavou tvaru pravidelneho 6-uholnika a 5-uholnikovymi stenami na boku (samozrejme, ze siestimi). Zoberieme este jeden taky tanierik, prilozime ich k sebe, a vznikne nam 14-sten. Zistite, ci mozu byt vsetky 5-uholnikove steny pavidelne.
4: Na mnozine M={1,2,...,1999} je dana operacia *, ktora kazdym dvom cislam z mnoziny M priradi cislo a*b opat z mnoziny M. Naviac pre lubovolne a,b patriace M plati (a*b)*a=b. Dokazte, ze v mnozine M existuje taky prvok u, ze u*u=u.
5: Dany je obdlznik ABCD a bod P. Dokazte, ze |AP|2 + |CP|2 = |BP|2 + |DP|2.
6: Dokazte, ze pre kazde prirodzene n je kombinacne cislo "2n nad n" delitelne n+1.
7: Nech k je prirodzene cislo. Dokazte, ze z cisel 0, 1, ... , 3k-1 mozno vybrat 2k cisel tak, ze aritmeticky priemer ziadnych dvoch vybratych cisel nie je vybrate cislo.
8: V obore celych cisel rieste rovnicu x14 + x24 + ... + x144 = 1999.

 

úvod | zadania | poradie | vzoráky | debata | sústredenia | výlety | zajo & miro