skms:zadania 1. letnej série 2000/2001
 korešpondenčný matematický seminár  
kontakt.php

 verzia pre tlač


   

 


poradie archív info termín: 05. 02. 2001

1: (riešia len prváci) V rovine su dane body A,B, pricom |AB|=5 cm. Najdite mnozinu vsetkych bodov X takych, ze ak zostrojime body C,D sumerne postupne s bodmi A,B v stredovej sumernosti so stredom X, tak obvod stvoruholnika ABCD bude 14 cm.
2: (riešia len prvácia druháci) Eno dostal na Mikulasa osem rovnakych specialnych malych hracich maly kociek. Na stenach tychto maly kociek su, ako to uz byva zvykom, nejake bodky. Nase maly kocky su vsak specialne a na stenach nemaju 1,2,...,6 bodiek, ale len 1,2 alebo 3 bodky. Pritom kazde cislo je na maly kocke dvakrat, a to na protilahlych stenach. Z osmich takychto maly kociek si urobil velku velky kocku 2x2x2.
a) Urcte aky moze byt celkovy pocet bodiek na stenach velkej velky kocky.
b) Potom si Eno spocital pocty bodiek na jednotlivych stenach velkej velky kocky. Zistite, ci takto mohol dostat sest po sebe iducich prirodzenych cisel.
3: (riešia len prvácia druháci) Nech a,b su cele cisla (nie obe rovne nule) a p je prvocislo. Dokazte, ze neplati nasledujuce tvrdenie: Ak x je cele cislo, tak ax2 + bx + p je prvocislo.
4: Misko po veceroch nema na internate co robit, tak si na papier nakreslil kruh a na jeho obvod je napisal 8 nul a 8 jednotiek tak, aby vsetky stvorice po sebe iducich prvkov v smere hodinovych ruciciek (takychto stvoric je zrejme prave 16) boli navzajom rozne. Tykoxo! Ved tam nikde nemas paticu 1,0,0,0,1 po sebe iducich prvkov! Miska nastvalo, ze si to nevsimol skor, tak si nakreslil novy kruh a po jeho obvode rozmiestnil 8 nul a 8 jednotiek, aby splnali tu istu podmienku. Dokazte, ze tam opat nikde nedostal paticu 1,0,0,0,1 po sebe iducich prvkov.
5: Dana je kruznica k so stredom S a jej tetiva AB, ktora nie je priemerom. Vnutri usecky AB zvolme lubovolny bod C, ktory nie je jej stredom. Nech D je druhy priesecnik (rozny od bodu A) kruznice k a kruznice opisanej trojuholniku ACS. Dokazte, ze potom je trojuholnik BCD rovnoramenny.
6: De bolo, tam bolo, bola raz jedna kocka. Ta mala na povrchu nakreslenych niekolko bodov, pricom platilo: Pri kazdom otoceni kocky, pri ktorom sa vrcholy otocia do vrcholov, sa kazdy z nakreslenych bodov otoci do nejakeho nakresleneho bodu. Zistite, ci na kocke mohlo byt nakreslenych
a) 100 bodov, b) 200 bodov.
7: V obdlzniku 3 cm x 4 cm je nahodne rozmiestnenych a) 7 bodov, b) 6 bodov. Dokazte, ze medzi nimi su nejake dva, ktorych vzdialenost nie je vacsia ako \/¯5 cm.
8: Dany je lichobeznik ABCD so zakladnami AB a CD. Priamka p pretina predlzenie zakladne AB v bode V, rameno AD v bode O, uhlopriecku AC v bode J, uhlopriecku BD v bode T, rameno BC v bode E a predlzenie zakladne CD v bode K. a) Ake slovo (meno) vytvaraju tieto body na priamke p? b) Dokazte, ze ak |VO|=|EK|, tak aj |OJ|=|TE|.
9: Sindy ma na tabuli napisane tri prirodzene cisla. Kedze sa mu nechce ucit, tak sa len tak hra. V jednom kroku zotrie lubovolne z nich a namiesto neho napise na tabulu sucet zvysnych dvoch zmenseny o 1. Po niekolkych krokoch dostal na tabuli napisane cisla 17, 1967, 1983. Ale uz si nepamata, co mal na zaciatku. Nejako sa mu mari, ze tam boli tri rovnake cisla. Zistite, ci mohli byt na zaciatku napisane na tabuli cisla a) 2, 2, 2, b) 3, 3, 3.

 

úvod | zadania | poradie | vzoráky | debata | sústredenia | výlety | zajo & miro