skms:zadania 1. letnej série 2001/2002
 korešpondenčný matematický seminár  
kontakt.php

 verzia pre tlač


   

 


poradie archív info termín: 11. 02. 2002

1: (riešia len prváci) achovho turnaja sa zastnilo 8 hrov. Kad hral s kadm prve raz. Za vhru sa zskava jeden bod, za remzu pol bodu, za prehru ni. Kad zskal rozdielny poet bodov. Hr, ktor skonil druh, zskal toko bodov, ako posledn tyria dokopy. Ako dopadol zpas medzi hrom, ktor skonil tret, a tm, ktor skonil piaty?
2: (riešia len prvácia druháci) Buggo sa op na prednke nudil, a tak si do zoita nakreslil lichobenk ABCD . Ke sa s nm pochvlil Ani, t bez vhania vyhlsila, e stredy zkladn, priesenk uhloprieok, ba dokonca aj priesenk preden ramien leia na jednej priamke. M Aa urite pravdu?
3: (riešia len prvácia druháci) Kayi si na vemi vek papier napsala vetky sla typu 11...1 (n jednotiek) - Kayi je ikovn. Teraz chce zakrkova vetky tak, ktor s druhou mocninou nejakho prirodzenho sla. Ktor sla m zakrkova?
4: Nech sla 2n+1 a 3n+1 s druh mocniny nejakch prirodzench sel. Dokte, e potom 40 del n.
5: Zostrojte vo vntri konvexnho tvoruholnka tak bod, ktor ke spojte so stredmi vetkch strn, dostanete 4 asti s rovnakm obsahom.
6: Pao si nakreslil trojuholnk ABC a vo vntri neho si vyznail n rznych bodov, z ktorch iadne tri neleali na jednej priamke (a iadne dva neleali na jednej priamke so iadnym z bodov A, B, C ). Potom pospjal body (vntorn aj rohov) sekami tak, e rozdelil trojuholnk ABC na sam trojuholnky, ktorch vetky vrcholy leali v zadanch bodoch. Urte, koko a) najviac, b) najmenej trojuholnkov mohol takto dosta.
7: Peo a Mio si rozdeuj 2n+1 oriekov (n>=2). Existuj 3 spsoby rozdeovania. Kad pozostva z troch fz. Prv 2 fzy s spolon pre vetky 3 spsoby:
  1. fza: Peo rozdel orieky na 2 kpky tak, aby kad obsahovala aspo 2 orieky.
  2. fza: Mio rozdel kad kpku na alie dve tak, aby kad z novch kpok obsahovala aspo 1 orieok.
  3. fza - 3 spsoby:
     A) Mio si vezme najviu a najmeniu kpku.
     B) Mio si vezme dve stredn kpky.
     C) Mio sa me rozhodn, i si vezme najviu a najmeniu alebo dve stredn kpky, a za to, e si mohol vybra, d jeden orieok Peovi. Mio si me vybra, ktorm spsobom sa bud orieky rozdeova. Ktor spsob si m zvoli, ak chce zska o najviac oriekov (Peo chce samozrejme tie zska o najviac oriekov)?
8: Dokte, e neexistuj tak prirodzen x,y, e \/¯x+\/¯y=\/¯(pq), kde p a q s rzne prvosla.
9: Na zver nieo pre tch, ktor radi mauj - urte, i sa d rovina zafarbi a) smimi, b) siedmimi farbami tak, aby iadne dva body, ktorch vzdialenos je presne 1 meter, nemali rovnak farbu.

 

úvod | zadania | poradie | vzoráky | debata | sústredenia | výlety | zajo & miro