Zadanie: Do štvorčekov nekonečného štvorčekového papiera sú vpísané reálne čísla. Dané sú dve šablóny zložené z konečného počtu štvorčekov. Tieto šablóny môžeme posúvať pozdĺž čiar na štvorčekovom papieri, nemeníme však ich orientáciu. Vieme, že ak prvú šablónu priložíme na ľubovoľné miesto, súčet čísel na políčkach, ktoré zakrýva, bude kladný. Dokážte, že existuje také umiestnenie druhej šablóny, že súčet čísel na políčkach, ktoré zakrýva, je tiež kladný.

meno: e-mail:

[cituj]Ondráč napísal: [cituj]Kubo napísal: No tak ja bych celkom rad vedel ze ci to mam dobre. Mozem sablonu polozit vsade? Akoze ci mozem kazde policko mat na kazdom mieste sablony. A potom z toho vyplyva ze sucet vsetkych policok je kladny. a Potom rovnako s druhou sablonou spravim spor ze sucet vsetkych policok je zaporny. Mozem robit taketo veci?[/cituj] S nepotešením ti musím oznámiť (aj ďalším trom), že toto sa robiť nedá. Keď položím prvú šablónu na ľubovoľné miesto, dostanem kladný súčet. Keď sčítam nekonečne veľa kladných čísel, dostanem buď kladné číslo, alebo nekonečno. Teda spokojne môžem povedať $$\sum_{\rm \forall\ umiestnenia} {\rm súčet\ šablóny}>0.$$ Vo všeobecnosti však neplatí, že takto sme dostali ($n$ je počet políčok šablóny) $n$-násobok súčtu všetkých políčok. Súčet políčok ani nemusí existovať (v takom prirodzenom zmysle). Veď si to skúsme... Vyfarbime si papier šachovnicovo a do čiernych políčok vpíšme jednotky. Biele políčka si nejako usporiadajme a postupne do nich vpisujme hodnoty $\epsilon_1-1$, $\epsilon_2-1$, $\ldots$, pričom $\epsilon_i$ sú všetky kladné a platí $$\sum_{i=1}^\infty \epsilon_i=C<\infty.$$ Ako prvú šablónu si zoberme štvorček $2\times 2$. Keď ho ľubovolne umiesnime, dostaneme kladný súčet ($\epsilon_j+\epsilon_k$). Súčet všetkých umiestnení tejto šablóny bude $$4\sum_{i=1}^\infty \epsilon_i=4C.$$ Skúste však nejakým spôsobom povedať, aký je súčet celej šachovnice. Koľko to bude? Je to niečo ako sčitovať nekonečný rad $$1-1+1-1+1\cdots,$$ tu však dokonca ani nemáte dané nejaké "poradie". Takže hovoriť o súčte všetkých políčok je dosť vágne a chcelo by to asi mnoho (alebo aj nekonečne veľa :)) úvah na doriešenie úlohy takýmto prístupom.[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.