To aby sa zvyraznila kolisajuca situacia na trhu s prirodzenymi cislami.

cituj ma

Tie vlnovky tam vyzerajú štýlovo :)

cituj ma

Este raz!

Našim cieľom je dokázať, že súčin je párny. To platí vtedy, keď je aspoň jedna zátvorka párna. A kedy platí toto? Rozdiel dvoch čísel je párny vtedy, keď je ich parita rovnaká, teda obe musia byť párne alebo obe nepárne. Podobne, rozdiel dvoch čísel je nepárny vtedy, keď je ich parita rôzna. Musíme teda dokázať, že pre každé nepárne musí byť medzi našimi zátvorkami aspoň jedna párna. A~prečo by to malo platiť?

Všimnime si, že pre nepárne platí, že nepárnych čísel je od 1 po o jedno viac, než párnych. Nepárnych je presne a párnych . Teraz sa na celú úlohu môžeme pozrieť napríklad týmito dvoma spôsobmi:

a) Ak je medzi číslami o~jedno viac nepárnych čísel ako párnych, potom to isté platí pre čísla až . Teraz poďme ukázať, že súčin nikdy nemôže byť nepárny (teda sa pokúsime o~dôkaz sporom). Ak by tento súčin mal byť nepárny, potom každá zo zátvoriek musí byť nepárna. To znamená, že do zátvoriek budeme zatvárať dvojice párny - nepárny. Vieme, že párnych čísel je o jedno menej ako nepárnych aj medzi až , aj medzi až . Preto, keď budeme vytvárať dvojice párny - nepárny, zostane nám nakoniec po jednom nepárnom čísle z~oboch skupín, a~tie musíme zavrieť do zátvorky spolu. Ich rozdiel bude párne číslo, a preto aj celkový súčin ~bude párny.

b) (podľa Mariána Horňáka) Zasa využijeme, že medzi až aj medzi až je nepárnych čísel o~jedno viac, než párnych. Keďže je ich v~každej skupine a~každé číslo použijeme v~zátvorkách dvakrát, potom máme nepárnych čísel, ktoré chceme dať do zátvoriek. No a~z~toho vidíme, že v aspoň jednej zátvorke musia byť spolu dve nepárne čísla (takáto úvaha sa podľa jedného múdreho uja volá Dirichletov pricíp), ktorých rozdiel je párne číslo, čo sme chceli dokázať.
\end{enumerate}

Komentár: Väčšina z~vás s~úlohou nemala problémy. Treba si však dať pozor na to, že ak niečo dokážem napríklad pre , ešte to neznamená, že to platí všeobecne.

cituj ma