Zadanie: Dokážte, že ak sú dĺžky strán pravouhlého trojuholníka, pričom je dĺžka prepony, potom pre všetky prirodzené čísla platí: a) , b) .

meno: e-mail:

[cituj]rasto napísal: Predbežné vzorové riešenie: Dokážeme časť b a tým bude dokázaná aj časť a. Začnime tým, že keďže $a$, $b$, $c$ sú strany pravouhlého trojuholníka, tak pre ne platí pytagorova veta, ktorá hovorí, že $a^2+b^2=c^2$. Strana $c$ je navyše prepona a preto platí $0<a,b<c$. Po prenásobení pytagorovej vety výrazom $c^{k-2}$ dostaneme rovnosť $a^2c^{k-2}+b^2c^{k-2}=c^k$. Keďže vieme, že $a<c$ tak potom $a^k<a^2c^{k-2}$, lebo to sme len nahradili všetky výskyty $c$ menšími $a$. Rovnako dostaneme aj nerovnosť $b^k<b^2c^{k-2}$. Z posledných dvoch nerovností dostávame výslednú nerovnosť $a^k+b^k<a^2c^{k-2}+b^2c^{k-2}=c^k$, čiže $a^k+b^k<c^k.[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.