Zadanie: Peťko hodil -krát mincou a zapísal si postupnosť hláv a znakov, ktorá mu padla. Potom zrátal počet dvojíc hlava-hlava, hlava-znak, znak-hlava, znak-znak, ktoré padli v dvoch po sebe idúcich hodoch. Vyšli mu postupne počty . Koľko je rôznych postupností, ktoré môže mať Peťko zapísané?

meno: e-mail:

[cituj]zuska & buggo napísal: <b>Predbezny vzorak:</b> Milé deťúrence a iné žubrienky. Tento vzorák sa skladá z dvoch častí. V prvej objasňujeme základné myšlienky a prístupy, ktoré by mohli viesť k riešeniu. Druhá časť obsahuje priame riešenie bez zbytočných rečí navyše. V riešení bude <i>h</i> označovať hlavu, <i>o</i> orla a <i>z</i> znak. Vypíšme si niekoľko postupností pĺňajúce zadanie a pozrime sa na ne. Existuje nejaký súvis medzi výskytmi dvojíc <i>hz</i> a <i>zh</i>, alebo ich počtami? Po krátkom hraní sa a hľadaní skrytých vlastností si všimneme, že medzi dvoma <i>hz</i> je nutne jedno <i>zh</i> a naopak. My máme tri <i>hz</i> a štyri <i>zh</i>, čo znamená, že na začiatku bude určite <i>z</i> a na konci <i>h</i> (premyslite si prečo). Napíšme si teraz postupnosť <i>zhzhzhzh</i>. Keď teraz namiesto nejakého <i>z</i> napíšeme postupnosť viacerých <i>zetiek</i>, počet dvojíc <i>zz</i> nám primerane narastie (pridám dve <i>z</i>, pribudnú dve dvojice). Takže nás zaujíma, koľkými spôsobmi môžeme rozdeliť päť <i>zetiek</i> na štyri miesta a dve <i>háčka</i> na ďalšie štyri miesta. Aby se to zrátali, môžeme použiť staré známe úvahy o chlievikoch a oddeľovačoch, známe tiež pod názvom kombinácie s opakovaním. Keďže každé rozdelenia <i>z</i> možno skombinovať s každým rozdelením <i>h</i> sú navzájom nezávislé, vynásobením týchto dvoch čísel dostaneme hľadané riešenie. Výsledok je teda $$\binom{8}{5}\cdot\binom{5}{2}=560\,.$$ Tu je už sľúbená druhá časť, čisté riešenie. Označme <i>ZHZHZHZH</i> každú postupnosť zloženú z písmen <i>z</i> a <i>h</i> takú, že každé <i>z</i> (resp. <i>h</i>) predstavuje niekoľko (aspoň jedno) písmen <i>z</i> (resp. <i>h</i>). V takejto postupnosti budú vždy práve tri dvojice <i>hz</i> a práve štyri dvojice <i>zh</i>. Teda nami požadované postupnosti budú určite v tomto tvare. Ak chceme, aby počet dvojíc <i>zz</i> bol 5, musia sa tieto dvojice vyskytovať vrámci niektorých blokov <i>z</i>. Jeden blok <i>z</i>, pozostávajúci z <i>k</i> písmen <i>z</i>, obsahuje <i>k-1</i> dvojíc <i>zz</i>. Nakoľko <i>z</i> obsahuje vždy aspoň jedno písmeno <i>z</i>, všetkých možných rozložení dvojíc <i>zz</i> je rovnako veľa ako možností rozloženia 5 prvkov do 4 priehradok, teda $${\binom{5+4-1}{4}}= {\binom{8}{5}}\,.$$ Analogickým postupom pre <i>hh</i> dostaneme výsledok $\binom{5}{2}$. Nakoľko rozdelenie <i>zz</i> a <i>hh</i> je nezávislé, výsledný počet postupností je $$\binom{8}{5}\cdot\binom{5}{2}=560\,.$$[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.