kms - fórum o príkladoch

4. príklad 2. letnej série 2007/2008

Zadanie:
Dokážte, že ak $a,b,c$ sú dĺžky strán pravouhlého trojuholníka, pričom $c$ je dĺžka prepony, potom pre všetky prirodzené čísla $k>2$ platí:
a) $a^3 + b^3 < c^3$ ,
b) $a^k + b^k < c^k$ .

Naspäť na príklady | Napíš príspevok

rasto <rasto6sk~yahoo~co~uk> - 03. 04. 2008 - 21:46:57 z adsl-d73.84-47-21.t-com.sk

Predbežné vzorové riešenie:
Dokážeme časť b a tým bude dokázaná aj časť a. Začnime tým, že keďže $a$ , $b$ , $c$ sú strany pravouhlého trojuholníka, tak pre ne platí pytagorova veta, ktorá hovorí, že $a^2+b^2=c^2$ . Strana $c$ je navyše prepona a preto platí $0<a,b<c$ .

Po prenásobení pytagorovej vety výrazom $c^{k-2}$ dostaneme rovnosť $a^2c^{k-2}+b^2c^{k-2}=c^k$ . Keďže vieme, že $a<c$ tak potom $a^k<a^2c^{k-2}$ , lebo to sme len nahradili všetky výskyty $c$ menšími $a$ . Rovnako dostaneme aj nerovnosť $b^k<b^2c^{k-2}$ .

Z posledných dvoch nerovností dostávame výslednú nerovnosť $a^k+b^k<a^2c^{k-2}+b^2c^{k-2}=c^k$ , čiže $a^k+b^k<c^k.$

cituj ma