kms - fórum o príkladoch

8. príklad 3. zimnej série 2008/2009

Zadanie:
Na zabudnutej tabuli v Rasťovej ešte zabudnutejšej tmavej komnate je nakreslených päť už skoro zabudnutých úsečiek. Z každej trojice z týchto úsečiek vieme zložiť trojuholník. Dokážte, že vieme vybrať tri úsečky tak, že trojuholník, ktorý z nich vznikne, je ostrouhlý (na také sa nezabúda).

Naspäť na príklady | Napíš príspevok

viktor.sz - 07. 12. 2008 - 12:57:03 z adsl-dyn149.78-99-172.t-com.sk

jj mam to nejak tak len o trochu viac rozpisane ale postup je rovnaky :-)

cituj ma

skiller - 06. 12. 2008 - 14:39:59 z localhost

mišof napísal:
No neviem nakoľko bude toto elegantné, ale budiž:
Označme si dĺžky úsečiek $a\le b\le c\le d\le e$ . Ak majú všetky trojuholníky existovať, musí platiť $e<a+b$ .

Trojuholník so stranami $a\le b\le c$ je ostrouhlý práve vtedy, keď $a^2 + b^2 > c^2$ (lebo kosínusová veta, čo je len väčší brat Pytagorovej).

Ak by teda nebol žiaden trojuholník ostrouhlý, tak pre strany $(a,b,c)$ , $(b,c,d)$ a $(c,d,e)$ dostávame $c^2 \ge a^2 + b^2$ , $d^2 \ge b^2 + c^2$ a $e^2 \ge d^2 + c^2$ . Dosadením prvých dvoch nerovností do tretej dostávame, že musí platiť $e^2 \ge 2a^2 + 3b^2$ .

Ale $2a^2 + 3b^2 > 2a^2 + 2b^2 \ge (a+b)^2$ , čo je spor s $e<a+b$ . Čím sme dokonca dokázali, že aspoň jeden z nami zvolených troch trojuholníkov musí byť ostrouhlý.

$P_{r_{e_{s_{n_e}}}} T_{a_{k}}$

cituj ma

mišof - 06. 12. 2008 - 02:21:58 z adsl-dyn116.78-99-158.t-com.sk

No neviem nakoľko bude toto elegantné, ale budiž:
Označme si dĺžky úsečiek $a\le b\le c\le d\le e$ . Ak majú všetky trojuholníky existovať, musí platiť $e<a+b$ .

Trojuholník so stranami $a\le b\le c$ je ostrouhlý práve vtedy, keď $a^2 + b^2 > c^2$ (lebo kosínusová veta, čo je len väčší brat Pytagorovej).

Ak by teda nebol žiaden trojuholník ostrouhlý, tak pre strany $(a,b,c)$ , $(b,c,d)$ a $(c,d,e)$ dostávame $c^2 \ge a^2 + b^2$ , $d^2 \ge b^2 + c^2$ a $e^2 \ge d^2 + c^2$ . Dosadením prvých dvoch nerovností do tretej dostávame, že musí platiť $e^2 \ge 2a^2 + 3b^2$ .

Ale $2a^2 + 3b^2 > 2a^2 + 2b^2 \ge (a+b)^2$ , čo je spor s $e<a+b$ . Čím sme dokonca dokázali, že aspoň jeden z nami zvolených troch trojuholníkov musí byť ostrouhlý.

cituj ma

tina - 04. 12. 2008 - 20:04:47 z bip-static-13.213-81-131.telecom.sk

hm...ja som to riešila sporom....dúfam, že dobre...

cituj ma

kamilama - 03. 12. 2008 - 21:44:58 z 158.196.244.87.in-addr.arpa

najde sa nejaky dobrak a ukaze mi na tento priklad krasne elegantne a fintove riesenie? neverim ze take nie je a ze sa to nedalo inak ako tak hnusne

cituj ma