Zadanie: Máme množinu desiatich rôznych reálnych čísel takú, že pre každé dva jej rôzne prvky je ich súčin alebo ich súčet racionálne číslo. Dokážte, že druhá mocnina každého čísla z našej množiny je racionálne číslo.

meno: e-mail:

[cituj]Jardo napísal: Body za túto úlohu sú už nejaký čas nahodené a nie sú tu žiadne sťažnosti, tak usudzujem, že za ňu (skoro) každý dostal očakávaný počet bodov. Ukázalo sa však, že väčšina z Vás má nejasné, ba až mylné predstavy o iracionálnych číslach. Vyskytli sa snahy vyjadrovať reálne čísla v tvare "racionálna časť + iracionálna časť", dokonca aj u skúsenejších riešiteľov. Pri takom postupe ma napadajú hneď tri problémy: 1)Zadefinovanie: Čo to vlastne je (i)racionálna časť? 2)Jednoznačnosť: Dá sa každé číslo napísať jediným spôsobom? Ak nie, nebude to problém? 3)Využiteľnosť: Čo tým skutočne získame? Nikto zo spomínaných nevysvetlil ani prvý problém, zrejme preto, že bolo cítiť nezrovnalosti. Takýto intuitívny prístup zdanlivo funguje pre iracionálne čísla typu "$p\pm\sqrt{q}$". Dá sa ale pomerne ľahko dokázať, že číslo je iracionálne, práve keď sa cifry jeho desatinného rozvoja nikdy nezačnú cyklicky opakovať. Preto je iracionálne napríklad aj $1,010001000000010\dots$. Ako by Popoluška oddelila v takom čísle racionálnu a iracionálnu zložku??[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.