kms - fórum o príkladoch

10. príklad 3. zimnej série 2009/2010

Zadanie:
Nech $\mathbb{R}$ je množina reálnych čísel. Určte všetky funkcie $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ také, že pre všetky reálne čísla $x$ a $y$ platí

$f( x^2 + f( y )) = ( x - y )^2 f( x + y ).$

Poznámka: Ak sa s úlohou tohto typu stretávate prvýkrát, odporúčame vám prečítať si text o funkcionálnych rovniciach na tejto adrese.

Naspäť na príklady | Napíš príspevok

Syseľ - 01. 12. 2009 - 17:53:00 z gw-sa3.salamon.sk

Syseľ napísal:
...
$f( ( x - y )^2 f( x + y ) = ( (-x) - y )^2 f( (-x) + y )$

$f( ( y - x )^2 f( y + x ) = ( y + x )^2 f( y - x )$
...

Prepáčte v týchto výrazoch je chyba, tu sú opravené:

$( x - y )^2 f( x + y ) = ( (-x) - y )^2 f( (-x) + y )$

$( y - x )^2 f( y + x ) = ( y + x )^2 f( y - x )$

cituj ma

Syseľ - 01. 12. 2009 - 17:47:50 z gw-sa3.salamon.sk

Majme dve rovnice:
$f( x^2 + f( y )) = ( x - y )^2 f( x + y )$

$f( (-x)^2 + f( y )) = ( (-x) - y )^2 f( (-x) + y )$
Pravé strany sa rovnajú => rovnajú sa aj ľavé:
$f( ( x - y )^2 f( x + y ) = ( (-x) - y )^2 f( (-x) + y )$

$f( ( y - x )^2 f( y + x ) = ( y + x )^2 f( y - x )$
Nech $y=\frac{t+1}2$ a $y=\frac{t-1}2$ potom $y+x = t$ a $y-x = 1$ teda :
$f( t ) = t^2f(1)$
kde $f(1)$ je konštanta, ktorej hodnotu zistíme po dosadení do prvej rovnice ( $0$ , $-1$ )
teda $f(x)=0$ alebo $f(x)=-x^2$ .
:-)