fórum o príkladoch
korešpondenčný matematický seminár
6. príklad 1. letnej série 2009/2010
Zadanie:
Nech
sú celé čísla, ktoré vyhovujú rovnosti
. Dokážte, že číslo
je druhou mocninou celého čísla.
Naspäť na príklady
|
Naspäť na príspevky
meno:
e-mail:
[cituj]Fillippo napísal: nechcelo to nic viac iba napad. a ten sa vola: umele dotvaranie vyrazov. je to velka finta, ale taketo veci sa vacsina ludi uci az na vyberku alebo pripravku. niekedy je to umenie vediet, ze $V=(V+1)-1$. A to sa da pouzit aj tu. napr. ked k obom stranam vazby pripocitas $a^2$, po uprave lavej strany dostanes zaujimavy poznatok, ktory je len krok od riesenia. Ale ako na to prist? Bud mas intuiciu alebo si tipnes, alebo mas skusenosti, alebo natvrdo skumas zaujimavu vazbu $ab + bc + ca = 1$. Z tej sa da vyzmykat, ze(postupne) $a=\frac{1-bc}{b+c} \quad \Rightarrow \quad {b+c}|{1-bc} \quad \Rightarrow \quad {b+c}|{1-bc-c^2+c^2} \quad \Rightarrow \quad {b+c}|{1-(bc+c^2)+c^2} \quad \Rightarrow \quad {b+c}|{1-c(b+c)+c^2}\quad \Rightarrow \quad {b+c}|{1+c^2}$. Inak aj tu sme pouzili tu fintu umelej upravy vyrazov, ale v tomto pripade, to je beznejsie a pri delitelnosti sa to pouziva castejsie. Analogicky mame ${a+c}|{1+c^2}$. Teraz nam staci sa uz len pozriet, ze kedze vieme, ze ${a+c}|{1+c^2} \quad \wedge \quad {b+c}|{1+c^2}$, tak moze byt zaujimave, co dava sucin $(a+c)(b+c)$. A sme hotovi. Mozno to vyzera zlozito a zbytocna okluka, ale ja osobne som takouto cestou dosiel k rieseniu, lebo je intuitivnejsia ako tipovacka.[/cituj]
V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu.
Help k ich používaniu nájdete na
kms.sk/tex.php
.
úvod
|
zadania
|
poradie
|
vzoráky
|
debata
|
sústredenia
|
výlety