Zadanie: Doma u Chucka na stole je rôznych na sebe položených kníh. Knihy začal nasledovne otáčať. V prvom ťahu otočil najvrchnejšiu knihu a položil ju naspäť. V druhom ťahu otočil dve vrchné knihy ako jeden blok a položil ich naspäť. Takto pokračoval aj ďalej a v -tom ťahu otočil všetkých kníh ako jeden blok a položil ich naspäť. V -vom ťahu otočil opäť vrchnú knihu a položil ju naspäť. V -hom ťahu otočil vrchné dve knihy ako jeden blok a položil ich naspäť. Takýmto spôsobom otáčal aj ďalej. Chuck odmieta skončiť skôr než sú knihy uložené presne tak, ako na začiatku, teda nielen v správnom poradí, ale aj správne orientované. Orientáciu knihy rozlišujeme podľa toho, či je kniha otočená prednou obálkou nahor alebo nadol. Všimnite si, že pri otočení nejakého bloku kníh sa orientácia každej knihy tohoto bloku zmení. Dokážte, že Chuck po konečnom počte ťahov skončí.

meno: e-mail:

[cituj]mišof napísal: Nena: Podrobne: Krok 1: Predstav si, že vyrábaš ľubovoľnú nekonečnú postupnosť vecí (vec1, vec2, vec3, atď.), kde z každého člena vieš jednoznačne určiť nasledujúci. Akonáhle sa ti stane, že vyrobíš vec, ktorú si vyrobila už predtým, postupnosť, ktorú vyrábaš, sa nutne zacyklila -- lebo odteraz budeš nutne opakovať dokola presne to, čo si robila, odkedy si túto vec vyrobila prvýkrát. Príklad: Počítaš 1 deleno 110. Postupnosť, ktorú vyrábaš, sú aktuálne zvyšky počas delenia. Nový zvyšok je jednoznačne určený predchádzajúcim: zoberieš aktuálny zvyšok, pripíšeš nulu (t.j. vynásobíš ho 10), dostaneš X. Celá časť X/110 je ďalšia cifra výsledku, zvyšok X po delení 110 je nový zvyšok, s ktorým pokračuješ ďalej. Pre 1/110 takto dostávaš postupne zvyšky 1, 10, 100, 10... a v tomto okamihu môžeš prestať počítať, lebo je jasné, že zvyšky 10 a 100 sa budú dokola opakovať. Krok 2: Ak navyše o našej postupnosti vecí vieš, že je len konečne veľa možných vecí, tak sa v nekonečnej postupnosti skôr či neskôr nejaký zopakuje, a preto je každá takáto postupnosť nutne (niekedy časom, možno s nejakou predperiódou ako pri 1/110) periodická. Príklad: pri počítaní $M/N$ pre ľubovoľné kladné celé $M$, $N$ sú možné zvyšky len z množiny $\{0,1,\dots,N-1\}$, teda ich je konečne veľa. Preto sa pri rátaní $M/N$ nutne zacyklíme, a v tomto cykle pridávame do výsledku dokola stále tie isté cifry. Preto má každé racionálne číslo periodický rozvoj v desiatkovej sústave. Krok 3: No a posledná dobrá vlastnosť, ktorú môže takáto postupnosť mať: ak z každého jej členu vieme určiť nie len nasledujúci, ale aj predchádzajúci. Potom totiž prvý člen, ktorý sa zopakuje, musí nutne byť úplne prvý člen celej postupnosti. Prečo? Nech pre nejaké $1<x<y$ je $x$-tý člen rovnaký ako $y$-ty. Potom je ale $(x-1)$-vý člen rovnaký ako $(y-1)$-vý, a tak ďalej, až prvý člen je rovnaký ako $(y-x+1)$-vý -- a teda sa už prvý člen nutne niekde skôr zopakoval. Príklad: Máme v kruhu $n\geq 3$ stoličiek. Ja si na nejakú sadnem, a následne dokola opakujem: zdvihnem sa, prejdem o 3 stoličky ďalej v smere ručičiek, a tam si sadnem. Potom prvá stolička, na ktorej budem sedieť druhýkrát, je nutne tá, kde som začínal.[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.