fórum o príkladoch
 korešpondenčný matematický seminár  
kontakt.php

 


10. príklad 3. zimnej série 2010/2011

Zadanie:
Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ spĺňajúce

$$
f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)
$$

pre ľubovoľné reálne čísla $x,\ y,\ z$.

Poznámka: Ak sa s úlohou tohto typu stretávate prvýkrát, odporúčame vám prečítať si tento či tento text o funkcionálnych rovniciach.



WOQ3qPGJ9z0p <uldmodit~hotmail~com> - 01. 08. 2015 - 23:09:19 z 183.68.214.176
Celkom užitočne1 vecička a jej obrovskou vfdhodou je, že je zatiaľ zamrado a sfabory si mf4žte sami spravovať, škoda že to nie je pod nejakou otvorenejšou licenciou. Pekne9 UX, prehľadne9, svižne9 a hlavne untuitedvne (teda aspoň pre mňa). Trochu ma mrzed absencia podpory pre Multisite (na rozdiel od ManageWP), ale lepšia integre1cia je sľfabene1 v ďalšej verzied. Kto by chcel profesione1lnejšiu alternatedvu , ktore1 ponfaka momente1lne o dosť viac, ale keďže je spoplatnene1, skutočne porovnanie budeme mf4cť urobiť až po zavedened platenfdch rozšedrened pre InfiniteWP (ktore9 by mali byť spoplatnene9 jednore1zovo) kedy bude jasnejšie kde je lepšed pomer cena/vfdkon (kvalita).

cituj ma

škrečok - 11. 01. 2011 - 08:53:48 z static-dsl-42.213-160-175.telecom.sk
Braňo napísal:
No, do mailu ste mi neodpovedali a Bus povedal, že sa treba pýtať tu, tak sa pýtam tu:


ahoj, odpovedali sme Ti aj mejlom 3. januára. ak Ti ten mejl nedošiel, odporúčam funkčný e-mailový server, napr. Gmail ;)

cituj ma

Braňo <caporegime~atlas~sk> - 07. 01. 2011 - 22:17:20 z 188-167-9-99.dynamic.chello.sk
Ďakujem

cituj ma

mato - 07. 01. 2011 - 17:58:40 z cgw.arma.bb.cust.gts.sk
Cau Brano, najskor k poznamke pod ciarou:
To, ze ak a=b, tak f(a)=f(b) vyplyva z definicie funkcie(dvom rovnakym cislam priradi obom rovnake hodnoty). Tato implikacia teda plati pre kazdu funkciu, teda je zbytocne ju vsuvat do definicie prostej.

A teraz k samotnej otazke(snad mi prepacis ze niesom opravovatel):
Predpokladajme ze

$$f(a)=f(b)$$

potom

$$k.f(a)=k.f(b)$$

z toho mame

$$f(k.f(a))=f(k.f(b))$$

a z odvodeneho vzathu vieme, ze

$$a.f(k)=f(k.f(a))=f(k.f(b))=b.f(k)$$


cize

$$a.f(k)=b.f(k)$$

Teraz uz dostavame $a=b$, ak teda existuje nejake take $k$, ze $f(k)\ne 0$. Teda jediny pripad kedy neplati $a=b$ je ak $f(x)=0$ pre vsetky realne $x$ (a takato funkcia vyhovuje zadaniu)

cituj ma

Braňo <caporegime~atlas~sk> - 07. 01. 2011 - 16:39:18 z 188-167-9-99.dynamic.chello.sk
No, do mailu ste mi neodpovedali a Bus povedal, že sa treba pýtať tu, tak sa pýtam tu:

Vo vzoráku je napísaný vzťah:
f(k · f(z)) = z · f(k)
ku ktorému je komentár, že je z neho možné celkom jednoducho ukázať, že funkcia f je prostá...a ja by som rád vedel, priamo od opravovateľa, že ako, lebo k tomuto vzťahu som počas skúšania došiel aj ja, a aj keď je už po sérii, stále ma zaujíma, ako sa dá dostať k tvrdeniu (a dokázať ho), že funkcia f je prostá (ukázať ho z tohto vzťahu).

A ešte, poznámka pod čiarou..."Funkcia f je prostá, ak pre ňu platí, že f(a) = f(b) implikuje a = b", prečo len implikuje? Nie je to obojstranné tvrdenie? ak a = b, tak f(a) = f(b), ja sa len chcem uistiť.

cituj ma

 

úvod | zadania | poradie | vzoráky | debata | sústredenia | výlety