kms - fórum o príkladoch

9. príklad 1. letnej série 2007/2008

Zadanie:
Pre ktoré prirodzené čísla $n$ je výraz $n^2+3^n$ druhou mocninou prirodzeného čísla?

mito - 11. 03. 2008 - 11:41:47 z proxy.uniba.sk

laciKE napísal:

mito napísal:

Upravíme na $3^n =(x-n)(x+n)$ a uvedomíme si, že aby bol súčin dvoch čísel treťou mocninou, každé z týchto čísel musí byť treťou mocninou.

Nemalo by tam byt mocninou trojky?

No ved presne to tam je, ci? Aha, skoro ;-) , teda v podstate to je ono ;)

cituj ma

laciKE - 10. 03. 2008 - 17:50:37 z nat-88-212-20-88.antik.sk

mito napísal:

Upravíme na $3^n =(x-n)(x+n)$ a uvedomíme si, že aby bol súčin dvoch čísel treťou mocninou, každé z týchto čísel musí byť treťou mocninou.

Nemalo by tam byt mocninou trojky?

cituj ma

mito <na kms> - 10. 03. 2008 - 14:53:22 z proxy.uniba.sk

Vzorák (sketch). Chceli by sme nájsť všetky prirodzené $n$ také, že rovnica $n^2 + 3^n = x^2$ má riešenie pre nejaké prirodzené $x$ .

Upravíme na $3^n =(x-n)(x+n)$ a uvedomíme si, že aby bol súčin dvoch čísel treťou mocninou, každé z týchto čísel musí byť treťou mocninou. Pozorovanie zapíšeme rovnicami
$x-n = 3^a, x+n = 3^b, n = a+b.$

Po odčítaní prvej od druhej a drobnej úprave máme $2(a+b) = 3^a(3^{b-a} - 1)$ s tým, že chceme nájsť všetky prirodzené $a,b$ , ktoré to spĺňajú. Tu si treba uvedomiť, že takých čísel nemôže byť veľa, pretože výraz napravo je exponenciálny a preto rastie rýchlejšie ako ľavá strana.
(Skúste si dosadiť napríklad $a=b=3$ .)

Na dokončenie riešenia treba ešte ukázať, že pravá strana je naozaj väčšia ako ľavá pre takmer všetky $a,b$ a niekoľko zostávajúcich možností pre $n$ vyskúšať. Dostávame tak riešenia pre $n=1$ a $n=3$ .

cituj ma