fórum o príkladoch
 korešpondenčný matematický seminár  
kontakt.php

 


6. príklad 3. zimnej série 2013/2014

Zadanie:
Sinetu a Monty po dlhej púti konečne dorazili do New Orleans a ihneď vyhľadali miestneho šerifa. Povedali mu o pláne Drzohubých a o tom, že by ho za pomoci šerifových ľudí radi prekazili. Šerif nechcel nič nechať na náhodu, a preto sa rozhodol, že najskôr zistí, či on sám nie je lepší na organizáciu celej akcie. Ako je dobre známe, tak úspech každej akcie strážcov zákona závisí od troch kladných premenných $a,b,c\in \mathbb{R}^+.$ Kvalita Montyho plánu je $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab},$ zatiaľ čo kvalita šerifovho plánu je $\frac{2}{a}+\frac{2}{b}-\frac{2}{c}.$ Dokážte, že Montyho plán nikdy nie je horší, t.j., že pre všetky $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ platí

$$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}-\frac{2}{c}.$$

Taktiež nájdite všetky také hodnoty $a$, $b$, $c$, pre ktoré nastáva rovnosť.



 

úvod | zadania | poradie | vzoráky | debata | sústredenia | výlety