fórum o príkladoch
korešpondenčný matematický seminár
9. príklad 1. letnej série 2007/2008
Zadanie:
Pre ktoré prirodzené čísla
je výraz
druhou mocninou prirodzeného čísla?
Naspäť na príklady
|
Naspäť na príspevky
meno:
e-mail:
[cituj]mito napísal: Vzorák (sketch). Chceli by sme nájsť všetky prirodzené $n$ také, že rovnica $n^2 + 3^n = x^2$ má riešenie pre nejaké prirodzené $x$. Upravíme na $3^n =(x-n)(x+n)$ a uvedomíme si, že aby bol súčin dvoch čísel treťou mocninou, každé z týchto čísel musí byť treťou mocninou. Pozorovanie zapíšeme rovnicami $x-n = 3^a, x+n = 3^b, n = a+b.$ Po odčítaní prvej od druhej a drobnej úprave máme $2(a+b) = 3^a(3^{b-a} - 1)$ s tým, že chceme nájsť všetky prirodzené $a,b$, ktoré to spĺňajú. Tu si treba uvedomiť, že takých čísel nemôže byť veľa, pretože výraz napravo je exponenciálny a preto rastie rýchlejšie ako ľavá strana. (Skúste si dosadiť napríklad $a=b=3$.) Na dokončenie riešenia treba ešte ukázať, že pravá strana je naozaj väčšia ako ľavá pre takmer všetky $a,b$ a niekoľko zostávajúcich možností pre $n$ vyskúšať. Dostávame tak riešenia pre $n=1$ a $n=3$.[/cituj]
V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu.
Help k ich používaniu nájdete na
kms.sk/tex.php
.
úvod
|
zadania
|
poradie
|
vzoráky
|
debata
|
sústredenia
|
výlety