Zadanie: Nájdite všetky prvočísla , pre ktoré existujú kladné celé čísla , , spĺňajúce rovnosť

meno: e-mail:

[cituj]misko sz napísal: Uvazujem: $$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$$ To ma byt nejake prvocislo. Pacilo by sa mi, ak by boli tie zatvorky nesudelitelne. Su? Spocitam NSD: $$(x+y, x^2-xy+y^2) = (x+y,3y^2)$$ Ak p=3, najdeme riesenie 3^2 = 2^3+1^3. Teda odteraz p <> 3. Teda NSD nemoze byt 3: $$\cdots = (x+y,y^2)$$ BUNV x a y su nesudelitelne (riesenia, kde su sudelitelne viem redukovat na riesenia, kde sudelitelne nie su, mozno az na par pripadov, co ide rucne rozobrat). Potom zrejme ziadne prvocislo deliace y^2 nedeli x+y, takze $$NSD(x+y, x^2-xy+y^2) = 1$$ Hura, z toho vyplyva $$x+y = 1 \quad \text{alebo} \quad x^2-xy+y^2 = 1$$ Prva moznost neprichadza do uvahy kedze x,y su prirodzene, druha odpadne z odhadu $$x^2-xy+y^2 = (x-y)^2 + xy \geq 1$$ Roznost nastava prave vtedy, ked x=y, z coho dostanem riesenie pre p=2. A to uz vyzera, ze to je vsetko :)[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.