Zadanie: Daný je kosoštvorec s vpísanou kružnicou . Vnútri uhla mimo kosoštvorca leží bod . Rovnobežka s priamkou prechádzajúca bodom pretína priamku v bode , rovnobežka s priamkou prechádzajúca bodom pretína priamku v bode . Uvažujme z bodov a dotyčnice ku kružnici rôzne od priamok a . Tieto dotyčnice sa pretínajú v bode . Dokážte, že body , a ležia na priamke.

meno: e-mail:

[cituj]Feráč napísal: Podľa mňa veľmi pekný príklad. V zadaní sa spomínajú len priamky a kružnice, v riešení (aspoň mojom) si ale treba do obrázku dokresliť elipsu - človek si takto pripomenie, aká je to užitočná krivka :) Budeme potrebovať nasledovné vlastnosti dotyčníc k elipse. Sú to celkom známe tvrdenia, možno ste sa s nimi stretli niekde na deskriptívnej geometrii (ak sa to ešte stále učí), dajú sa celkom dobre aj natipovať, keď viete, čo potrebujete. Lemma 1: Ak $X$ je bod na elipse $e$ s ohniskami $E$ a $F$, tak dotyčnica k $e$ prechádzajúca cez $X$ delí susedný uhol k uhlu $EXF$ na polovicu. Lemma 2: Ak $e$ je elipsa so stredom $S$, $X$ je bod vonku $e$ a $XK$, $XL$ su dotyčnice k $e$ ($K$ a $L$ sú dotykové body), tak priamka $SX$ delí úsečku $KL$ na polovicu (pre kružnicu to triviálne platí, celkom zaujímavé ale je, že to platí aj pre elipsu). No a teraz už dôkaz pôvodnej úlohy. Nech $X:=(C+A)/2$, $S:=(C+M)/2$, $R:=(C+P)/2=(K+L)/2$. Stačí dokázať, že $X,S,R$ sú kolineárne. Tak ako vraví Filip, treba si porátať úseky dotyčníc z $C,M,K,L$ ku $k$. Napíšte si, ktoré vzdialensti sú rovnaké, a mali by ste dostať $|MK|+|CK| = |ML|+|CL|$. To znamená, že $K$ a $L$ ležia na spoločnej elipse $e$ s ohniskami $M$ a $C$ a stredom v $S$. Podľa Lemmy 1 sú $XK$ a $XL$ dotyčnice k $e$. Potom podľa Lemmy 2 leží $R$ na $XS$.[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.