kms - fórum o príkladoch

fórum o príkladoch

korešpondenčný matematický seminár

12. príklad 3. letnej série 2009/2010

Zadanie:
Na obrázku je nakreslených $2n+1$ priamok tak, že žiadne dve z nich nie sú rovnobežné, žiadne dve nie sú na seba kolmé a žiadne tri neprechádzajú jedným bodom. Najviac koľko ostrouhlých trojuholníkov (v závislosti od $n$ ) môže byť na obrázku?

Naspäť na príklady | Napíš príspevok

9KzJcfi4 <fewmblsi4f~yahoo~com> - 28. 12. 2015 - 11:37:27 z 188.143.232.27

Je9j, toto je pekne9 čedm som staršed, tfdm viac si uvedomujem, že nie je df4ležite9 veľa toho stedhať, ale robiť tie spre1vne veci. Prihove1ram sa za Slobodnfa školu :)

d6hsMux5p <isalsy80~gmail~com> - 26. 12. 2015 - 16:12:05 z 221.178.182.79

Your cards are SO beautiful, and we would just LOVE to have you stop by and share your cards with us in our cahrlengls at Word Art Wednesday. Our challenges are never as fun without all our friends. We care about you, hope you're doing well, and really hope to see you playing along again soon with us at Word Art Wednesday.Be blessed,Karen LWord Art Wednesdaywww.wordartwednesday.blogspot.com

d20JcPXVo5 <pnszql3emn4~gmail~com> - 26. 12. 2015 - 14:52:13 z 190-206-214-77.dyn.dsl.cantv.net

Dobrfd deň p. Machacek, do 10.4.2013 Ze1konnfd ze1stupca žiaka pode1va prihle1šku riaditeľovi ZŠ. do 20.4.2013 Riaditeľ zašle prihle1šky žiakov na SŠ vre1tane orsemočnfdch gymne1zied.S pozdrom br. Peter Mage1č

76MRaLtkJ6l <yb39l5dtya~mail~com> - 26. 12. 2015 - 13:55:32 z 188.143.232.32

Kudos! What a neat way of thiinnkg about it.

yjCyQD5fi <vnorzvsamwg~mail~com> - 26. 12. 2015 - 13:51:42 z 188.143.234.155

You actually did know your gdmnraa Challies. She died when Grace was just two weeks old, so you would have been three at the time.Rick's gdmnraa lokks so proud holding her great-granddaughter.Dad

Br4703EqSqM <i22uofqnx82~mail~com> - 27. 06. 2014 - 00:49:52 z 211.152.50.70

[na 50% SPAM!]
Wow, superb blog luayot! How long have you been blogging for? you made blogging look easy. The overall look of your web site is excellent, as well as the content!. Thanks For Your article about c4Œeknito Blog - Novc3bd dizajn .

fnra6OdY <9q081hf9ql~yahoo~com> - 26. 06. 2014 - 23:19:03 z 62-210-78-179.rev.poneytelecom.eu

S potěšenedm jsem si přečetl čle1nek o oceněned Dr.Kleislove9, neboť jsem měl to obrovske9 štěsted, že mě paned pookesrrfa učila. Při te9to předležitosti bych si proto dovolil doporučit Vašed Asociaci absolventů GOH, abyste doporučili paned profesorku na nominaci našemu vedened města na Cenu města Olomouce pro předšted rok (letošned fadedlened cen jea0již rozhodnuto a proběhne 14.6.2012). Jsem naprosto přesvědčen, že by si toto oceněned zasloužila nejenom za svou odbornost a profesionalitu, ale i za svou lidskost, neboť jsem měl tu čest poznat paned profesorkua0po studiedch i osobně a jsem moca0re1d, že se s ned mohu stfdkat dodnes.Roman Zelenka

6Apduslj <qzbszbjg~hotmail~com> - 26. 06. 2014 - 16:16:12 z 141.189.204.15

1. bukannya saya malas blaejar bahasa inggris, tetapi saya kurang menguasai pelajaran bahasa inggris, jadi saya kurang memahami atau mengerti jika bapa memberikan tugas atau pr. Sebenarnya saya menyukai pelajaran bahasa inggris, hanya kurang mengerti saja dan kadang-kadang tidak tau artinya jika ada pr atau tugas.2. saya terus berusaha sebisa saya untuk bisa dan mengerti bahasa inggris, saya juga ingin bisa berbahasa inggris yg baik dan menguasai pelajaran bahasa inggris, yg saya inginkan hanya suasana kelas yg nyaman dan releks yg tidak terlalu serius dan tegang dalam blaejar supaya saya lebih mudah memahami dan mengerti apa yg bapa sampaikan ketika blaejar, dan dalam menjelaskan saya ingin bapa tidak berbahasa inggris semuanya dalam menerangkan suatu pelajaran, karena jika bapa berbahasa inggris dalam menjelaskan, saya tidak bisa mengerti dan memahami apa yg bapa jelaskan atau sampaikan.

mato - 26. 05. 2010 - 16:12:54 z dial-92-52-43-6-orange.orange.sk

Zaujmave je aj ze ten vysledok je presne stvrtina vsetkych trojuholnikov pri 2n+2 priamkach.

Feráč - 24. 05. 2010 - 11:10:14 z clpc340.comlab.ox.ac.uk

Zaujimalo by ma, preco to vyjde prave sucet prvych $n$ stvorcov. Vie mi to niekto pekne intuitivne vysvetlit?

Fillippo - 23. 05. 2010 - 22:12:13 z ppp-77-234-226-61.dsidata.sk

takisto, som dosiel po trik, ale dalej... pekna uloha. pacia sa mio ulohy prepajajuce rozne oblasti matematiky

mato - 23. 05. 2010 - 19:45:02 z dial-92-52-43-6-orange.orange.sk

po trik som sa dostal, ale trik ma uz nenapadol..

Feráč - 23. 05. 2010 - 17:49:54 z worc-student-nat.worc.ox.ac.uk

Aby vám nebolo ľúto, že nie sú vzoráky, tak tu máte aspoň veľmi stručné návody/riešenia.

Každej priamke vieme jednoznačne priradiť uhol z intervalu $[0, 180^\circ)$ , ktorý zviera s x-ovou osou. Tri priamky s uhlami $\alpha < \beta < \gamma$ teraz tvoria ostrouhlý trojuholník práve vtedy, keď

$\beta - \alpha < 90^\circ, \gamma - \beta < 90^\circ, \gamma - \alpha > 90^\circ.$

Úlohu si môžeme preformululovať: potrebujeme rozmiestniť $2n+1$ bodov do intervalu $[0,180^\circ)$ tak, aby tam bolo čo najviac takýchto trojíc $\alpha, \beta, \gamma$ .

Každá taká trojica má $\alpha < 90^\circ$ a $\gamma \geq 90^\circ$ . Kde môže byť $\beta$ ? Buď $\beta < 90^\circ$ a potom už stačí aby $\gamma-\beta < 90^\circ$ (prvý prípad), alebo $\beta \geq 90^\circ$ a potom už stačí aby $\beta-\alpha < 90^\circ$ (druhý prípad).

Teraz trik. Nakreslime si všetky tieto body len do intervalu $[0, 90^\circ)$ nasledovne. Body, ktoré sú $< 90^\circ$ necháme na mieste a dáme im bielu (B) farbu. Body, ktoré sú $\geq 90^\circ$ zmenšíme o $90^\circ$ ("posunieme doľava") a nakreslíme ich čiernou (Č) farbou. Žiadne dve priamky nie sú na seba kolmé, takže žiadne dva body takto nepadnú na to isté miesto. Dobré trojice $\alpha, \beta, \gamma$ teraz presne zodpovedajú postupnostiam BČB (prvý prípad) a ČBČ (druhý prípad).

Znovu si môžeme úlohu preformulovať: potrebujeme ofarbiť $2n+1$ guľôčok čiernou a bielou farbou, aby sme dosiahli čo najviac trojíc BČB a ČBČ (nie nutne susedných gúľočok). Toto je už čisto kombinatorická úloha. Dokážte si, že najlepšie je dať čierne a biele na striedačku. Potom to vyjde $n(n+1)(2n+1)/6$ , presne tak ako vraví Mišof :)

mišof - 22. 05. 2010 - 01:28:42 z dial-95-105-152-199-orange.orange.sk

Ak sa nemýlim, tak odpoveď je $n(n+1)(2n+1)/6$ .

Fillippo - 19. 05. 2010 - 22:39:42 z ppp-77-234-226-61.dsidata.sk

vie dakto aspon nejake hinty, alebo riesenie? celkom rad by som sa niekde po troch tyzdnoch v tom priklade posunul.

úvod | zadania | poradie | vzoráky | debata | sústredenia | výlety