Zadanie: Na zabudnutej tabuli v Rasťovej ešte zabudnutejšej tmavej komnate je nakreslených päť už skoro zabudnutých úsečiek. Z každej trojice z týchto úsečiek vieme zložiť trojuholník. Dokážte, že vieme vybrať tri úsečky tak, že trojuholník, ktorý z nich vznikne, je ostrouhlý (na také sa nezabúda).

meno: e-mail:

[cituj]mišof napísal: No neviem nakoľko bude toto elegantné, ale budiž: Označme si dĺžky úsečiek $a\le b\le c\le d\le e$. Ak majú všetky trojuholníky existovať, musí platiť $e<a+b$. Trojuholník so stranami $a\le b\le c$ je ostrouhlý práve vtedy, keď $a^2 + b^2 > c^2$ (lebo kosínusová veta, čo je len väčší brat Pytagorovej). Ak by teda nebol žiaden trojuholník ostrouhlý, tak pre strany $(a,b,c)$, $(b,c,d)$ a $(c,d,e)$ dostávame $c^2 \ge a^2 + b^2$, $d^2 \ge b^2 + c^2$ a $e^2 \ge d^2 + c^2$. Dosadením prvých dvoch nerovností do tretej dostávame, že musí platiť $e^2 \ge 2a^2 + 3b^2$. Ale $2a^2 + 3b^2 > 2a^2 + 2b^2 \ge (a+b)^2$, čo je spor s $e<a+b$. Čím sme dokonca dokázali, že aspoň jeden z nami zvolených troch trojuholníkov musí byť ostrouhlý.[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.