Zadanie: Každá podmnožina množiny prirodzených čísel má iný súčet prvkov. Aký najmenší môže byť výraz (v závislosti od ) ?

meno: e-mail:

[cituj]Ondráč napísal: A to ešte budeš kukať, keď uvidíš ako sa to dalo vyriešiť... Stačilo sa pozrieť na$$\sum (\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n)^2,$$ kde suma ide cez všetkých $2^n$ kombinácií znamienok. Využitím toho, že každá podmnožina $\{x_1,x_2,\ldots{},x_n\}$ má iný súčet sa dá dokázať $$\sum (\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n)^2\geq \frac{2^{3n}-2^n}{3}$$ a jednoduchým roznásobením sumy dostávame $$\sum (\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n)^2=2^n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2).$$ Spojením tejto rovnosti a odhadu získame $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\geq\frac{4^n-1}{4-1}=1^2+2^2+4^2+8^2+\cdots+(2^{n-1})^2.$$ Keďže $n$-tica $\{1,2,4,8,\ldots{},2^{n-1}\}$ spĺňa podmienku o rôznych súčtoch, máme najlepší dolný odhad.[/cituj]

V príspevku je na písanie matematických výrazov možné používať príkazy TeXu. Help k ich používaniu nájdete na kms.sk/tex.php.