| 1: (riešia len prváci)
Najdite najmensie prirodzene cislo, ktoreho polovica je druhou mocninou
nejakeho prirodzeneho cisla a ktoreho tretina je tretou mocninou
nejakeho prirodzeneho cisla.
|
| 2: (riešia len prvácia druháci)
V trojuholniku ABC rozdeluju vyska a taznica z vrcholu A uhol BAC
na tri zhodne uhly. Urcte velkosti vnutornych uhlov trojuholnika ABC.
|
3: (riešia len prvácia druháci)
V Pascalovom trojuholniku sa nachadza nasledujuci riadok:
1 7 21 35 35 21 7 1.
Vidime, ze cisla 7,21,35 tvoria aritmeticku postupnost. Urcte, v ktorych
riadkoch mozno najst a) tri, b) styri po sebe iduce cisla
tvoriace aritmeticku postupnost.
|
| 4:
Dve kruznice k1 a k2 sa pretinaju v bodoch M a N. Oznacme l
ich spolocnu dotucnicu taku, ze bod M je blizsie k priamke l nez
bod N. Body dotyku priamky l s kruznicami k1, k2 oznacme
postupne A,B. Priamka prechadzajuca bodom M a rovnobezna s l
pretina kruznice k1, k2 postupne v bodoch C,D. Oznacme P
priesecnik priamok AN, CD a Q priesecnik priamok BN, CD.
Dokazte, ze |PM|=|MQ|.
|
| 5:
Dane su dve zhodne dotykajuce sa kruznice k1,k2.
Zostrojte lichobeznik ABCD, v ktorom plati rovnost
|BC|=|CD|=|DA|, a taky, ze strana AD sa dotyka kruznice
k1, strana BC kruznice k2 a strany AB, CD su (vonkajsimi)
spolocnymi dotycnicami oboch kruznic.
|
| 6:
Nech m,n su prirodzene cisla splnajuce rovnost
3m2 + m = 4n2 + n .
Dokazte, ze m-n je druhou mocninou nejakeho celeho cisla.
|
7:
Pre kazde prirodzene cislo n oznacme
n.(n-2).(n-4).
... .3.1 pre n neparne
n!!=
n.(n-2).(n-4).
... .4.2 pre n parne
Dokazte, ze cislo 1998!! + 1997!! je delitelne cislom 1999.
|
| 8:
V riadku mame zapisanych 2000
cisel. Do kazdeho dalsieho riadku zapiseme pod kazde cislo pocet jeho vyskytov
v predchadzajucom riadku (napr. ak sa v prvom riadku cislo 2 nachadza 10-krat,
tak pod kazdu dvojku zapiseme cislo 10). V kazdom riadku tak dostavame opat
2000 cisel. Dokazte, ze po nejakom case dostaneme riadok, ktory je rovnaky
ako jeho predchodca.
|
| 9:
Dokazte, ze polynom
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a3x3 + x2 + x + 1
stupna n>=3 s realnymi koeficientami nemoze mat vsetky korene realne.
|
skms:zadania 3. zimnej série 2000/2001
