|
|
 |
poradie
archív info
termín: 29. 11. 1999
| 1: (riešia len prváci)
Dany
je trojuholnik ABC vpiste donho pravouholnik KLMN tak, aby
body K,L lezali na strane AB, bod M na strane BC,
bod N na strane CA, a aby dlzka jeho uhlopriecky bola minimalna.
| | 2: (riešia len prvácia druháci)
Dokazte,
ze pre kazde prirodzene n vacsie alebo rovne 3 plati: nn+1
> (n+1)n
| | 3:
A teraz pozor! Mame "tanierik"
spodstavou tvaru pravidelneho 6-uholnika a 5-uholnikovymi
stenami na boku (samozrejme, ze siestimi). Zoberieme este jeden taky tanierik,
prilozime ich k sebe, a vznikne nam 14-sten. Zistite, ci mozu byt
vsetky 5-uholnikove steny pavidelne.
| | 4:
Na mnozine M={1,2,...,1999}
je dana operacia *, ktora kazdym dvom cislam z mnoziny M priradi
cislo a*b opat z mnoziny M. Naviac pre lubovolne a,b patriace
M plati (a*b)*a=b. Dokazte, ze v mnozine M existuje taky prvok
u, ze u*u=u.
| | 5: Dany je obdlznik ABCD a bod P.
Dokazte, ze |AP|2 + |CP|2 = |BP|2 + |DP|2.
| | 6:
Dokazte, ze pre kazde prirodzene
n je kombinacne cislo "2n nad n"
delitelne n+1.
| | 7:
Nech k je prirodzene cislo.
Dokazte, ze z cisel 0, 1, ... , 3k-1 mozno vybrat 2k
cisel tak, ze aritmeticky priemer ziadnych dvoch vybratych cisel nie je
vybrate cislo.
| | 8:
V obore celych cisel rieste rovnicu
x14 + x24 + ... + x144
= 1999.
|
|
|
|
|
