kms - skms:zadania 2. letnej série 1999/2000

poradie archív info termín: 13. 03. 2000

1: (riešia len prváci) Ak sa neda narysovat uhol velkosti 1^o len pomocou pravitka a kruzidla, tak sa neda pomocou tychto nastrojov narysovat ani uhol velkosti 19^o. Dokazte!

2: (riešia len prvácia druháci) Dvaja hraci hraju nasledujucu hru, pricom sa striedaju v tahoch.Prvy hrac napise v prvom tahu na prvu ciarku lubovolnu cifru. V kazdom dalsom tahu hrac nahradi prvu volnu hviezdicku znakom + alebo . (scitanie alebo nasobenie) a prvu volnu ciarku cifrou.Cifry sa nemozu opakovat. Ked uz vsetko vyplnia (10 cifier a 9 operacii), vypocitaju si vysledok. Ak je ten vysledok parne cislo, vyhrava prvy hrac. V opacnom pripade vyhrava druhy hrac. Zistite, ktory z hracov ma vyhravajucu strategiu a popiste ju. ((( ... ( _ * _ ) * _ ) * _ ) * _ ) * _ ) * _ ) * _ ) * _ ) * _ )

3: Vo vrcholoch pravidelneho sestuholnika su postupne napisane cisla 1,2,3,4,5,6. V jednom kroku si zvolime nejake tri po sebe iduce vrcholy a vsetky cisla v nich napisane bud zvacsime alebo zmensime o 1. Zistite, ci mozeme po konecnom pocte krokov dostat vo vsetkych vrcholoch sestky.

4: V kufri zosnuleho kapitana nasli namornici listinu s textom: Na ostrove pokladov choate od duba ku zrutenemu majaku a odtial rovnaku vzdialenost doprava (do praveho uhla). Tam zapichnite veslo. Potom chodte od duba k ciernej skale a odtial rovnaku vzdialenost dolava (do praveho uhla). Tam zapichnite druhe veslo. V strede medzi veslami je zakopany poklad. Namornici odisli na ostrov a nasli majak i skalu, ale stary dub tam uz davno nebol. Napriek tomu poklad nasli. Vysvetlite ako je to mozne zistite, kde sa poklad nachadzal.

5: Urcte pocet vsetkych usporiadanych trojic (x,y,z) prirodzenych cisel takych, ze xyz=2000²⁰⁰⁰

6: Na tabuli su napisane cisla 1,1/2,1/3, ... ,1/2000. V jednom kroku si vyberieme dve (rozne) z nich --- oznacme ich a,b ---zmazeme ich a na tabulu dopiseme cislo a+b+ab. Toto opakujeme, kym natabuli nezostane napisane jedno cislo. Dokazte, ze to bude vzdy to iste cislo, a najdite ho.

7: V lichobezniku ABCD su na ramenach AD a BC dane postupne body K a L. Dokazte, ze ak velkost uhla DAL je rovna velkosti uhla CBK, potom velkost uhla DLA je rovna velkosti uhla CKB.

8: V nemenovanom Zvaze je hlavne mesto, zvane Stolica, a dalsich viac ako 100 miest. Stolica je spojena leteckymi linkami s prave 100 mestami, ostatne mesta (okrem Stolice) su spojene leteckymi linkami s prave 10 inymi mestami (letecke linky su obojsmerne a medzi kazdymi dvoma mestami je najviac jedna linka). Je zname, ze z kazdeho mesta sa da (niekedy s prestupmi) dostat do kazdeho. Dokazte, ze mozno zrusit polovicu liniek iducich zo Stolice tak, ze sa este stale bude dat dostat z kazdeho mesta do kazdeho.