| 1: (riešia len prváci)
Dane su dve kruznice k1, k2 pretinajuce sa v bodoch A,B.
Oznacme C taky bod kruznice k1 (rozny od bodu B), pre ktory plati
|AB|=|AC|.
Urcte uhly trojuholnika ABC, ak viete, ze stred kruznice k1 lezi
na k2 a stred kruznice k2 lezi na k1.
|
| 2: (riešia len prvácia druháci)
Urcte vsetky prirodzene cisla n, pre ktore je
1! + 2! + ... + n!
druhou mocninou nejakeho prirodzeneho cisla.
|
3: (riešia len prvácia druháci)
Dana je sustava rovnic
9x + y + z = 83
x + 9y + z = 99
x + y + 9z = 69
ktora ma pri zmene jedneho cisla na pravej strane na ine dvojciferne cislo
celociselne riesenie. Najdite toto cislo a prislusne riesenie sustavy.
|
| 4:
V rovine su dane tri rozne body A,B,C leziace na kruznici so stredom
S a priamka p kolma na AS. Priesecniky priamky p s priamkami
AB a AC oznacme postupne D a E. Dokazte, ze body B,C,D,E
lezia na jednej kruznici.
|
| 5:
Dany je konvexny sestuholnik A1A2A3A4A5A6.
Oznacme S1, ... ,S6 potupne stredy jeho stran A1A2, ... , A6A1.
Ak kazda z priamok S1S4, S2S5 a S3S6 deli sestuholnik
A1A2A3A4A5A6 na dve casti s rovnakym obsahom, potom sa tieto
tri priamky pretinaju v jednom bode. Dokazte.
|
| 6:
Nech p,q su po sebe iduce neparne cisla. Dokazte, ze cislo
pq + qp
je delitelne cislom p+q.
|
| 7:
Urcte kolko najmenej bodov treba zvolit vnutri konvexneho n-uholnika
tak, aby vnutri (na strane sa nepocita) lubovolneho trojuholnika
s vrcholmi vo vrcholoch povodneho n-uholnika lezal aspon jeden zo
zvolenych bodov.
|
8:
V obore realnych cisel rieste sustavu rovnic
2a.\/¯(1-a2) = b,
2b.\/¯(1-b2) = a.
|
| 9:
Na kazdom policku sachovnice 8x8 je polozeny bud biely alebo
cierny kamen. Pri podrobnejsom preskumani sachovnice si lahko vsimneme,
ze kazdy cierny kamen ma neparny pocet ciernych susedov a kazdy biely
kamen ma parny pocet ciernych susedov (pod susedmi nejakeho kamena
myslime kamene na polickach, ktore maju spolocnu hranu alebo vrchol
s polickom, kde ten kamen lezi). Urcte najvacsi mozny pocet ciernych
kamenov na sachovnici.
|
skms:zadania 2. zimnej série 2000/2001
