kms - skms:zadania 3. letnej série 2000/2001

poradie archív info termín: 24. 04. 2001

1: (riešia len prváci) Ke� pri�la Kay�i prv�kr�t na intern�t do Bratislavy, bola prekvapen� dezol�tnym stavom svojej izby. Mali tam napr�klad st�l rozmerov 100 cm x 120 cm, ktor�ho no�i�ky mali d�ky 97 cm, 98 cm, 100 cm a 200 cm (nie nutne v tomto porad�). St�l sa na tak�chto mo�i�k�ch trochu k�val, tak sa rozhodli, �e t� najdlh�iu zre��. Na ak� d�ku ju maj� zreza�, aby sa st�l u� viac nekn�sal?

2: (riešia len prvácia druháci) Ke� mal Ivo len 19 rokov, tak si myslel, �e v�etky ��sla s� delite�n� 19. Sindy tie� kedysi pre�il tak�to obdobie a chcel Iva presved�i�, �e to nie je pravda. Tak mu poradil, nech si vezme v�raz 5²ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺².2^n-1 a dosadzuje tam postupne prirodzen� ��sla. Dok�te, �e mu Sindy poradil zle a Ivova naivn� predstava sa t�mto len upevnila (t.j. v�dy mu vy�lo ��slo delite�n� 19).

3: (riešia len prvácia druháci) Pe�o si na s�streden� vr�mci kreat�vneho poobedia vyrobil dr�ten� model kv�dra rozmerov k x l x m , (kde k,l,m s� prirodzen� ��sla), pri�om vydr�ten� s� hrany v�etk�ch koco�iek rozmeru 1x1x1, z ktor�ch sa kv�der sklad�. Ko�ko spolu kv�drov dr�ty vytv�raj�? (Pozn�mka. Kocky r�tame tie� za kv�dre!)

4: He�o si z tenk�ho plechu vyrobil lichobe�n�k ABCD (so z�klad�ami AB a CD ) a chcel ur�i� jeho uhol CAB. Zabudol si v�ak uhlomer. Ale mal pri sebe prav�tko a elektronick� v�hy. Tak ten lichobe�n�k odv�il, z tabuliek si zistil hustotu plechu, odmeral jeho ��rku, a t�m p�dom bol schopn� vypo��ta� obsah S lichobe�n�ka. �alej zmeral d�ky jeho uhloprie�ok u, v a v�imol si zauj�mav� vec, �e pre z�skan� veli�iny platil vz�ah u+v=\/¯(8S). Na z�klade toho u� dok�zal ur�i� ve�kos� uhla CAB . Dok�ete to aj vy?

5: Dan� bol ostrouhl� trojuholn�k ABC a bod D na strane AC, pri�om platilo |<BCA|=|<DBA| . Potom pri�iel �ebo a tak�to pekn� trojuholn�k sa mu nep��il, tak si na priamku AB dokreslil bod E, ktor� le�al z�rove� na osi �se�ky BD. Ani teraz to nebolo ono, tak dokreslil stred kru�nice op�sanej trojuholn�ku BCD a ozna�il ho S. Potom pote�en� zo sojho umeleck�ho diela si v�imol, �e body E,D,S a B le�ia na jednej kru�nici. No a to, �o si �ebo len v�imol, m�te vy dok�za�.

6: Mirka navrhla do tretej s�rie tak�to �lohu: V obore cel�ch ��sel rie�te rovnicu 6(x²+y²) = z²+t². Ke�e sa v�etk�m ostatn�m ved�cim �loha aj jej rie�enie ve�mi p��ili, tak tu ju m�te.

7: �ab�o z�skal pok�tnymi finan�n�mi oper�ciami kopu 2000 minc�. Zavolal si svojho finan�n�ho poradcu Fera a povedal mu, nech t� kopu rozdel� na dve k�pky obsahuj�ce aspo� dve mince. Potom �ab�o rozdel� ka�d� z t�ch k�pok na �al�ie dve nepr�zdne k�pky a zoberie si najv��iu a najmen�iu z t�ch �tyroch k�pok (samozrejme sa sna�� to rozdeli� tak, aby z�skal �o najviac). Zvy�n� dve k�pky pripadn� Ferovi. Pora�te finan�n�kovi Ferovi, ako m� na za�iatku rozdeli� kopu, aby mal ist� �o najv�� zisk.

8: Cimo mal na s�streden� predn�ku o kruhoch, trojuholn�koch a �tvorcoch. Po skon�en� ostalo na tabuli nakreslen�ch 22 kruhov, 35 trojuholn�kov a 27 �tvorcov. Potom pri�iel zlovestn� Sindy a za�al sa hra�. V jednom kroku zotrel dva obrazce a namiesto nich nekreslil nejak� �al�� pod�a nasleduj�cej tabu�ky:

�o zma�e?	� �	t t	� t	k t	k �	k k
��m nahrad�?	t	�	k	t	�	k

Sindy toto opakoval, a� k�m mu na tabuli nezostal jedin� �tvar. Zistite, �o v�etko mu mohlo na konci zosta�.

9: Pa�o m� �achovnicu 2000 x 2000 a mysl� si nejak� prirodzen� ��slo k men�ie ne� 2000. Potom do ka�d�ho pol��ka �tvorca k x k v �avom hornom rohu �achovnice polo�� jeden kame�. V jednom �ahu m��e zobra� jeden kame� A a presko�i� n�m vo vodorovnom alebo zvislom smere nejak� in� kame� B, ktor� le�� na susednom pol��ku, pri�om kame� A potom polo�� na pol��ko hne� za kame�om B (aby mohol �aha�, toto pol��ko mus� by� vo�n�!). Pa�ov�m cie�om je po kone�nom po�te �ahov dosta� v�etky kamene do �tvorca k x k, ktor� le�� v pravom dolnom rohu �achovnice. N�jdite v�etky k, pre ktor� sa mu to m��e podari� (ak bude �aha� rozumne).