|
|
 |
poradie
archív info
termín: 10. 04. 2000
| 1: (riešia len prváci)
Strany AB a CD obdlznika ABCD
s obsahom S rozdelime postupne bodmi
X1, ..., Xn-1 a Y1, ... ,Yn-1
na n rovnakych casti.
Zistite, aky je obsah stvoruholnika, ktory vznikne v strede.
| | 2: (riešia len prvácia druháci)
Na
stole je polozenych za sebou polozenych pat (jednokorunovych) minci, pricom
druha zlava je znakom hore a ostatne su znakom dole. V jednom kroku mozme
prevratit tri po sebe iduce mince. Zistite, ci po konecnom pocte krokov
mozeme dostat situaciu, ked budu vsetky mince znakom hore.
| | 3:
Dokazte, ze spomedzi deviatich
(navzajom roznych) prirodzenych cisel mozno vybrat styri (navzajom rozne)
cisla a,b,c,d take, ze cisla a+b a c+d davaju rovnake zvysky po deleni
20.
| | 4:
Dany je trojuholnik ABC. Nech
L a M su postupne priesecniky osi vnutorneho a vonkajsieho uhla (je to uhol
susedny k vnutornemu uhlu) pri vrchole C s priamkou AB. Dokazte, ze ak |CL|=|CM|,
tak plati |AC|2 + |BC|2 = 4r2 , kde r je
polomer kruznice opisanej trojuholniku ABC
| | 5:
Sachovnica n x n (kde n>=4)
je cela pokryta jazdcami (je ich n2). V jednom momente
n2 sachistov urobi tah podla sachovych pravidiel (kazdy inym
jazdcom). Urcte, pre ktore n mozu sachisti tahat tak, ze po tahu nebudu
ziadni dvaja jazdci na tom istom policku.
| | 6: V postupnostiach a1,
a2, a3, ... a b1, b2,
b3, ... je kazdy clen (pocnuc tretim) rovny suctu predchadzajucich
dvoch, pricom a1=1, a2=2 a b1=2, b2=1.
Zistite kolko je cisel, ktore sa vyskytnu v oboch postupnostiach (nie nutne
na rovnakych miestach).
| | 7:
Dany je ostrouhly trojuholnik
ABC. Os uhla BAC pretina stranu BC v bode L a kruznicu opisanu trojuholniku
ABC v bodoch A a N. Nech K,M su paty kolmic spustenych z bodu L postupne
na priamky AB, AC. Dokazte, ze trojuholnik ABC a stvoruholnik AKNM maju
rovnaky obsah.
| | 8: Dokazte, ze neexistuje funkcia
f: N0->N0 taka, ze pre kazde prirodzene cislo n plati
f(f(n)) = n+1999.
|
|
|
|
|
