| 1: (riešia len prváci) Dokazte, ze pre kazde prirodzene cislo n>1 je cislo 20002n
- 19992n delitelne 13.
|
| 2: (riešia len prvácia druháci)
V
obore realnych cisel rieste rovnicu x(x+2)(x+4)(x+6)=9
|
| 3:
Mame 10 vriec. V kazdom z nich je 666 minci. V niektorych
vreciach mozu byt falosne mince, pricom v jednom konkretnom vreci su vsetky
mince rovnake. Prava minca vazi 1 gram, falosna 1,0001 gramu.
Kdispozicii mame digitalne vahy (t.j. mozno na nich odmerat hmotnost). Mozno
jednym vazenim zistit, v ktorych vreciach su falosne mince?
|
| 4:
Najdite
vsetky prirodzene cisla, ktore sa rovnaju sucinu vsetkych svojich vlastnych
delitelov. Poznamka: Vlastny delitel prirodzeneho cisla n je taky (prirodzeny)
delitel n, ktory je mensi nez n. Napr. vlastnymi delitelmi cisla 6 su 1,2,3
a 6 = 1.2.3
|
| 5:
Majme
drevenu gulu (tak do dvoch dlani), linear (pravitko bez stupnice), ceruzku
a sfericke kruzidlo (schopne rysovat po povrchu gule). Zistite polomer tejto
gule (t.j. narysujte ho na papier, stenu alebo ine medium).
|
| 6:
Nech P(x) je taky polynom scelociselnymi koeficientami, ze P(7)=77
a pre nejake prirodzene r>7 plati P(r)=85. Dokazte, ze polynom
P(x) ma prave jeden celociselny koren vacsi nez r.
|
| 7:
V obore realnych cisel rieste nerovnicu
logsin xcos x + logcos x sin x <= 2.
|
| 8:
Dany je pravouhly trojuholnik ABC.
Kruznica jemu vpisana sa dotyka prepony AB v bode D. Dokazte,
ze obsah obdlznika so stranami dlzok |AD| a |DB| je rovnaky
ako obsah trojuholnika ABC.
|
skms:zadania 1. letnej série 1999/2000
