|
|
 |
poradie
archív info
termín: 25. 09. 2000
| 1: (riešia len prváci)
V
lichobezniku ABCD oznacme postupne K, M stredy jeho zakladni AB, CD a L,
N stredy jeho uhlopriecok AC, BD. Dokazte, ze ak |KM|=|LN|, tak KLMN je
obdlznik.
| | 2: (riešia len prvácia druháci)
Poschodovy dom ma 18 okien
(vzdy su tri okna nad sebou). Urcte, kolkymi sposobmi sa moze svietit v
dvanastich oknach, ak sa na kazdom poschodi svieti v prave styroch a z kazdych
troch okien nad sebou sa svieti prave v dvoch.
| | 3: (riešia len prvácia druháci)
Nech
a1, a2, ... , a12 s cele cisla. Dokazte,
ze cislo (a12 + a22
+ ... + a122).a12.a22.....a122
je delitelne 12.
| | 4:
Cimo bol cez prazdniny na rybacke
a chytil niekolko ryb. Vedla chytal Eno, ktory nechytil nic, tak sa Cimo
nad nim zlutoval a dal mu svoje tri najvcsie ryby. Tym sa hmotnost jeho
lovku znizila o 35%. Sindy bol trochu sikovnejsi a chytil jednu rybu, co
tiez nie je nic moc. Tak sa Cimo ultostil aj nad nim a dal mu svoje tri
najmensie ryby, cim sa hmotnost jeho lovku zmensila o 5/13 (v porovnani
s predchadzajcou hmotnostou). Zistite, kolko ryb zostalo Cimovi.
| | 5:
Nech p je prirodzene cislo.
Dokazte, ze p je delitelne 9 prave vtedy, ked existuje prirodzene
cislo n take, ze cisla n a n+p maj rovnaky ciferny
scet.
| | 6:
Zistite, kolko telesovych uhlopriecok
ma a) pravidelny 6-sten, b) pravidelny 20-sten, c) pravidelny 12-sten. Poznamka:
Telesa s uvedene v tomto poradi z didaktickych dovodov.
| | 7:
Dany je trojuholnik s dlzkami stran
a, b, c a obsahom S. Dokazte, ze plati nerovnost 4a2 + b2
>= 8S .
| | 8: Zistite, kolko najviac sachovch
konov sa da umiestnit na achovnicu (8 x 8) tak, aby sa ziadni dvaja neohrozovali.
| | 9: Dany je rovnoramenny trojuholnik
ABC so zakladnou AB. Oznacme vc velkost jeho vysky na stranu
AB. Zostrojme kruznicu k so stredom S a polomerom vc, ktora sa
dotyka strany AB a pretina strany BC a CA postupne v bodoch K a L. Dokazte,
ze velkost oblukov, ktore na kruznici k urcuj body K a L nezavisi od polohy
kruznice k.
|
|
|
|
|
