kms - skms:zadania 2. letnej série 2000/2001

poradie archív info termín: 06. 03. 2001

1: (riešia len prváci) Mi�o si o Pa�ovi mysl�, �e je to ve�k� frajer a chce si to overi�. Preto mu hovor�: "Po�uj Pa�o, ak si tak� frajer, ako si mysl�m, tak mi n�jdi v�etky prvo��sla p, pre ktor� s� p+10 aj p+20 prvo��sla! Ko�ko t�ch prvo��sel n�jde�, to�kon�sobn� si frajer." Zistite, ko�kon�sobn� frajer je Pa�o. Pripome�me, �e Pa�o je v�born� h�ada� prvo��sel, tak�e ur�ite n�jde v�etky rie�enia. Za mlad�ch �ias toti� absolvoval e�te ako pionier kurz h�adania prvo��sel.

2: (riešia len prvácia druháci) Jo�o bol na po�ova�ke v lesoch bl�zko �korupova a prv�kr�t v �ivote si zabudol svoj zbrojn� preukaz. �o �ert nechcel akur�t vtedy ho �apol hor�r. Chcel od Jo�a jeho rodn� ��slo. Ako je v�etk�m matematikom zn�me, ka�d� rodn� ��slo je delite�n� 11. Jo�o si naviac pam�tal, �e to jeho m� v�etky cifry navz�jom r�zne. Zistite, ak� a) najmen�ie, b) najv��ie ��slo mohlo by� Jo�ov�m rodn�m ��slom. Pritom v �korupove sa rodn� ��sla pride�uj� �plne in�m sp�sobom - nemusia ma� desa� cifier ako inde a nem��u za��na� nulou.

3: (riešia len prvácia druháci) A�a si chcela od E�a po�i�at pozn�mky z algebry. A E�o jej na to hovor�: "Pozn�mky by som Ti aj po�i�al, ale najprv mus� vykona� tri �lohy." A zadal jej tak�to �a�k� �lohy: �loha 1: Zaspievaj mi mi nejak� pesni�ku od skupiny R. E. M., napr�klad nie�o z ich nov�ho albumu Reveal. �loha 2: Dones mi pierko vt�ka Ohniv�ka. �loha 3: Tu m� trojuholn�k ABC. Jeho vn�torn� uhly maj� tradi�ne ve�kosti α, β a γ . Nakresl�m Ti kru�nicu tomu trojuholn�ku vp�san� a jej dotykov� body so stranami AB, BC a CA ozna��m postupne K, L a M . Ur� ve�kosti vn�torn�ch trojuholn�ka KLM v z�vislosti od α, β, γ. Vy m�te situ�ciu trochu jednoduch�iu, sta�� v�m splni� �lohu 3.

4: Ke� bol Cimo e�te mal� pionier, tak sa mu ve�mi nep��ila p�c�pa �erven� hviezda. Povedal si, �e ke� bude ve�k�, tak presad�, aby sa p�c�pa hviezda zmenila na sedemc�pu. Preto za�al �tudova� jej geometrick� vlastnosti. Na papier si tenkou ceruzkou nakreslil �ubovo�n� konvexn� sedemuholn�k A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇ a potom hrubou ceruzkou nakreslil hviezdu A₁A₄A₇A₃A₆A₂A₅A₁. Potom odmeral vn�torn� uhly pri c�poch tejto hviezdy a ich ve�kosti spo��tal. Zistite, �o mu vy�lo.

5: Kay�i rada ma�uje, a tak si na papier nakreslila jeden prekr�sny trojuholn�k ABC a vn�tri neho zvolila bod X . Potom viedla bodom X rovnobe�ky so stranami trojuholn�ka ABC. Tie jej ho rozdelili na tri �tvoruholn�ky a tri trojuholn�ky. Obsahy t�chto trojuholn�kov boli 1(kp)² , 2(kp)² a 3(kp)² . Ur�te obsah trojuholn�ka ABC. Pozn�mka. D�kov� jednotka 1 kp = 1 Kay�in palec, t.j. ��rka Kay�inho palca. Ide o �tandartn� jedotku pou��van� v mnoh�ch krajin�ch sveta a jej origin�l je ulo�en� v N�rodnom m�zeu v Par�i.

6: Mi�o sa sna�� urobi� nov� namakan� vec na internetov� str�nku SKMS. Av�ak je tam jeden mal� probl�m - probl�m kritick�ho polyn�mu. Ide o nejak� polyn�m tvaru ax²+bx+c, kde a,b,c s� cel� ��sla. Ten polyn�m z�vis� od toho, ako je str�nka uroben�. Ak m� tento polyn�m nejak� racion�lny kore� r, tak str�nka po r²+1 sekund�ch spadne a po��ta� treba re�tartova�. Mi�ovi sa podarilo �peci�lnymi program�torsk�mi fintami dostiahnu� to, �e koeficienty a,b,c kritick�ho polyn�mu pre str�nku SKMS s� nep�rne ��sla. Dok�te, �e str�nka SKMS nikdy nespadne! (vid�te: padla!, pozn. www red.)

7: Finan�n�k He�o prv� de� po skon�en� �koly k�pil jednu akciu jedn�ho nemenovan�ho podniku. St�la ho rovn�ch 1000 slovensk�ch kor�n. Ceny akci� vych�dzaj� ka�d� r�no vo finan�nom denn�ku a potom sa cel� de� obchoduje pod�a t�chto cien. He�o sa sna�� zisti�, ak� bude cena jeho akcie v dvetis�ci de� po skon�en� �koly. Preto si cenu v n -t� de� ozna�il f(n) a spomenul si, �e kedysi sa na predn�ke u�ili, �e pre v�voj ceny plat� vz�ah f(1) + f(2) + ... + f(n) = n²f(n), pre n=1,2,... . Pom��te mu zisti� cenu akcie v dvetis�ci de�.

8: Ke� bol E�o v Amerike, chytili ho v New Yorku �udo�r�ti, lebo sa tam prech�dzal v klob�ku s n�pisom Florida. Najprv si toti� mysleli, �e je to nejak� turista s Floridy, a t� s� ve�mi chutn�. Ke� zistili, �e je to Slov�k a �e rob� ved�ceho SKMS, za�ali od ostatn�ch ved�cich p�ta� v�kupn�. Ke�e nevedeli, ko�ko maj� p�ta� vymysleli pre ved�cich tak�to �lohu: M�te riadkovan� papier, ktor� m� 3³³ riadkov. Na za�iatku nap�ete do nieko�k�ch riadkov nejak� 33 -�lenn� navz�jom r�zne postupnosti ��sel 0,1,2 . Potom po�lete papier n�m a my ho d�me E�ovi. Ten si m��e v jednom kroku vybra� dva riadky (nie nutne r�zne) s postupnos�ami a₁a₂...a₃₃, b₁b₂...b₃₃ a vytvori� postupnos� c₁c₂...c₃₃, kde pre ka�d� i=1,2,...,33 si vezme c_i = [ (a_i + b_i + 1)/2], pri�om tie hranat� z�tvorky znamenaj� doln� cel� �as�. Ak tento nov� riadok na papieri e�te nie je, tak ho tam dop�e. Ak sa mu nepodar� zaplni� cel� papier, zjeme ho na ve�eru. Ak sa mu to podar�, zaplat�te n�m v�kupn� to�ko dol�rov, ko�ko zap�san�ch riadkov ste n�m poslali. Ved�ci samozrejme nechc�, aby E�a zjedli �udo�r�ti. Ak� postupnosti maj� posla� �ubo�r�tom, ak chc� zaplati� �o najmen�ie v�kupn�? A ko�ko potom zaplatia?

9: Ma�o a E�o chodia u� druh� rok na kung-fu a chc� sa nau�i� nejak� tr�ningov� met�du na zlep�enie �derov. Tak sa sp�tali Mirky, ktor� chodila kedysi d�vno na karate a ona im poradila toto: "Na tabu�u si nakreslite �tvor�ekovan� sie� n x n a udierajte do �tvor�ekov. Tam kde udrie E�o si nap�te 1, tam kde udrie Ma�o, nap�te -1. Nemus�te sa strieda� a nikdy neudierajte do �tvor�ekov, kde u� je nie�o nap�san�." Tak aj urobili. Ma�o sa sna�il udiera� z celej sily, aby ka�d� vedel, �e to udiera Martin Vojtek z Nitry, a po kr�tkom �ase si zranil ruku. E�o udieral viac technicky, tak�e si ruku (ani ni� in�) nezranil. Ale nechcelo sa mu udiera� sam�mu, tak skon�il aj on. Potom Ma�o dop�sal (zdravou rukou) nuly do v�etk�ch pol��ok, do ktor�ch e�te nikto neudrel a E�o urobil s��ty v ka�dom riadku, st�pci a na dvoch hlavn�ch diagon�lach. Zistite, �i takto mohol dosta� v�etky ��sla navz�jom r�zne.