|
|
 |
poradie
archív info
termín: 05. 02. 2001
| 1: (riešia len prváci)
V
rovine su dane body A,B, pricom |AB|=5 cm. Najdite mnozinu vsetkych bodov
X takych, ze ak zostrojime body C,D sumerne postupne s bodmi A,B v stredovej
sumernosti so stredom X, tak obvod stvoruholnika ABCD bude 14 cm.
| 2: (riešia len prvácia druháci)
Eno dostal na Mikulasa
osem rovnakych specialnych malych hracich maly kociek. Na stenach tychto
maly kociek su, ako to uz byva zvykom, nejake bodky. Nase maly kocky su
vsak specialne a na stenach nemaju 1,2,...,6 bodiek, ale len 1,2 alebo 3
bodky. Pritom kazde cislo je na maly kocke dvakrat, a to na protilahlych
stenach. Z osmich takychto maly kociek si urobil velku velky kocku 2x2x2.
a) Urcte aky moze byt celkovy pocet bodiek na stenach velkej velky kocky.
b) Potom si Eno spocital pocty bodiek na jednotlivych stenach velkej
velky kocky. Zistite, ci takto mohol dostat sest po sebe iducich prirodzenych
cisel.
| | 3: (riešia len prvácia druháci)
Nech
a,b su cele cisla (nie obe rovne nule) a p je prvocislo. Dokazte, ze neplati
nasledujuce tvrdenie: Ak x je cele cislo, tak ax2 + bx + p je
prvocislo.
| | 4:
Misko po veceroch nema na internate
co robit, tak si na papier nakreslil kruh a na jeho obvod je napisal 8 nul
a 8 jednotiek tak, aby vsetky stvorice po sebe iducich prvkov v smere hodinovych
ruciciek (takychto stvoric je zrejme prave 16) boli navzajom rozne. Tykoxo!
Ved tam nikde nemas paticu 1,0,0,0,1 po sebe iducich prvkov! Miska nastvalo,
ze si to nevsimol skor, tak si nakreslil novy kruh a po jeho obvode rozmiestnil
8 nul a 8 jednotiek, aby splnali tu istu podmienku. Dokazte, ze tam opat
nikde nedostal paticu 1,0,0,0,1 po sebe iducich prvkov.
| | 5:
Dana je kruznica k so stredom S
a jej tetiva AB, ktora nie je priemerom. Vnutri usecky AB zvolme lubovolny
bod C, ktory nie je jej stredom. Nech D je druhy priesecnik (rozny od bodu
A) kruznice k a kruznice opisanej trojuholniku ACS. Dokazte, ze potom je
trojuholnik BCD rovnoramenny.
| 6:
De bolo, tam bolo, bola raz jedna
kocka. Ta mala na povrchu nakreslenych niekolko bodov, pricom platilo: Pri
kazdom otoceni kocky, pri ktorom sa vrcholy otocia do vrcholov, sa kazdy
z nakreslenych bodov otoci do nejakeho nakresleneho bodu. Zistite, ci na
kocke mohlo byt nakreslenych
a) 100 bodov, b) 200 bodov.
| | 7:
V obdlzniku 3 cm x 4 cm je nahodne
rozmiestnenych a) 7 bodov, b) 6 bodov. Dokazte, ze medzi nimi su nejake
dva, ktorych vzdialenost nie je vacsia ako \/¯5 cm.
| | 8:
Dany je lichobeznik ABCD so zakladnami
AB a CD. Priamka p pretina predlzenie zakladne AB v bode V, rameno AD v
bode O, uhlopriecku AC v bode J, uhlopriecku BD v bode T, rameno BC v bode
E a predlzenie zakladne CD v bode K. a) Ake slovo (meno) vytvaraju tieto
body na priamke p? b) Dokazte, ze ak |VO|=|EK|, tak aj |OJ|=|TE|.
| | 9:
Sindy ma na tabuli napisane tri
prirodzene cisla. Kedze sa mu nechce ucit, tak sa len tak hra. V jednom
kroku zotrie lubovolne z nich a namiesto neho napise na tabulu sucet zvysnych
dvoch zmenseny o 1. Po niekolkych krokoch dostal na tabuli napisane cisla
17, 1967, 1983. Ale uz si nepamata, co mal na zaciatku. Nejako sa mu mari,
ze tam boli tri rovnake cisla. Zistite, ci mohli byt na zaciatku napisane
na tabuli cisla a) 2, 2, 2, b) 3, 3, 3.
|
|
|
|
|
