skms:zadania 2. letnej série 2000/2001
 korešpondenčný matematický seminár  
kontakt.php

 verzia pre tlač


   

 


poradie archív info termín: 06. 03. 2001

1: (riešia len prváci) Mio si o Paovi mysl, e je to vek frajer a chce si to overi. Preto mu hovor: "Pouj Pao, ak si tak frajer, ako si myslm, tak mi njdi vetky prvosla p, pre ktor s p+10 aj p+20 prvosla! Koko tch prvosel njde, tokonsobn si frajer." Zistite, kokonsobn frajer je Pao. Pripomeme, e Pao je vborn hada prvosel, take urite njde vetky rieenia. Za mladch ias toti absolvoval ete ako pionier kurz hadania prvosel.
2: (riešia len prvácia druháci) Joo bol na poovake v lesoch blzko korupova a prvkrt v ivote si zabudol svoj zbrojn preukaz. o ert nechcel akurt vtedy ho apol horr. Chcel od Joa jeho rodn slo. Ako je vetkm matematikom znme, kad rodn slo je deliten 11. Joo si naviac pamtal, e to jeho m vetky cifry navzjom rzne. Zistite, ak a) najmenie, b) najvie slo mohlo by Joovm rodnm slom. Pritom v korupove sa rodn sla prideuj plne inm spsobom - nemusia ma desa cifier ako inde a nemu zana nulou.
3: (riešia len prvácia druháci) Aa si chcela od Ea poiat poznmky z algebry. A Eo jej na to hovor: "Poznmky by som Ti aj poial, ale najprv mus vykona tri lohy." A zadal jej takto ak lohy: loha 1: Zaspievaj mi mi nejak pesniku od skupiny R. E. M., naprklad nieo z ich novho albumu Reveal. loha 2: Dones mi pierko vtka Ohnivka. loha 3: Tu m trojuholnk ABC. Jeho vntorn uhly maj tradine vekosti α, β a γ . Nakreslm Ti krunicu tomu trojuholnku vpsan a jej dotykov body so stranami AB, BC a CA oznam postupne K, L a M . Ur vekosti vntornch trojuholnka KLM v zvislosti od α, β, γ. Vy mte situciu trochu jednoduchiu, sta vm splni lohu 3.
4: Ke bol Cimo ete mal pionier, tak sa mu vemi nepila pcpa erven hviezda. Povedal si, e ke bude vek, tak presad, aby sa pcpa hviezda zmenila na sedemcpu. Preto zaal tudova jej geometrick vlastnosti. Na papier si tenkou ceruzkou nakreslil ubovon konvexn sedemuholnk A1A2A3A4A5A6A7 a potom hrubou ceruzkou nakreslil hviezdu A1A4A7A3A6A2A5A1. Potom odmeral vntorn uhly pri cpoch tejto hviezdy a ich vekosti spotal. Zistite, o mu vylo.
5: Kayi rada mauje, a tak si na papier nakreslila jeden prekrsny trojuholnk ABC a vntri neho zvolila bod X . Potom viedla bodom X rovnobeky so stranami trojuholnka ABC. Tie jej ho rozdelili na tri tvoruholnky a tri trojuholnky. Obsahy tchto trojuholnkov boli 1(kp)2 , 2(kp)2 a 3(kp)2 . Urte obsah trojuholnka ABC. Poznmka. Dkov jednotka 1 kp = 1 Kayin palec, t.j. rka Kayinho palca. Ide o tandartn jedotku pouvan v mnohch krajinch sveta a jej originl je uloen v Nrodnom mzeu v Pari.
6: Mio sa sna urobi nov namakan vec na internetov strnku SKMS. Avak je tam jeden mal problm - problm kritickho polynmu. Ide o nejak polynm tvaru ax2+bx+c, kde a,b,c s cel sla. Ten polynm zvis od toho, ako je strnka uroben. Ak m tento polynm nejak racionlny kore r, tak strnka po r2+1 sekundch spadne a pota treba retartova. Miovi sa podarilo pecilnymi programtorskmi fintami dostiahnu to, e koeficienty a,b,c kritickho polynmu pre strnku SKMS s neprne sla. Dokte, e strnka SKMS nikdy nespadne! (vidte: padla!, pozn. www red.)
7: Finannk Heo prv de po skonen koly kpil jednu akciu jednho nemenovanho podniku. Stla ho rovnch 1000 slovenskch korn. Ceny akci vychdzaj kad rno vo finannom dennku a potom sa cel de obchoduje poda tchto cien. Heo sa sna zisti, ak bude cena jeho akcie v dvetisci de po skonen koly. Preto si cenu v n -t de oznail f(n) a spomenul si, e kedysi sa na prednke uili, e pre vvoj ceny plat vzah f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n), pre n=1,2,... . Pomte mu zisti cenu akcie v dvetisci de.
8: Ke bol Eo v Amerike, chytili ho v New Yorku udorti, lebo sa tam prechdzal v klobku s npisom Florida. Najprv si toti mysleli, e je to nejak turista s Floridy, a t s vemi chutn. Ke zistili, e je to Slovk a e rob vedceho SKMS, zaali od ostatnch vedcich pta vkupn. Kee nevedeli, koko maj pta vymysleli pre vedcich takto lohu: Mte riadkovan papier, ktor m 333 riadkov. Na zaiatku napete do niekokch riadkov nejak 33 -lenn navzjom rzne postupnosti sel 0,1,2 . Potom polete papier nm a my ho dme Eovi. Ten si me v jednom kroku vybra dva riadky (nie nutne rzne) s postupnosami a1a2...a33, b1b2...b33 a vytvori postupnos c1c2...c33, kde pre kad i=1,2,...,33 si vezme ci = [ (ai + bi + 1)/2], priom tie hranat ztvorky znamenaj doln cel as. Ak tento nov riadok na papieri ete nie je, tak ho tam dope. Ak sa mu nepodar zaplni cel papier, zjeme ho na veeru. Ak sa mu to podar, zaplatte nm vkupn toko dolrov, koko zapsanch riadkov ste nm poslali. Vedci samozrejme nechc, aby Ea zjedli udorti. Ak postupnosti maj posla ubortom, ak chc zaplati o najmenie vkupn? A koko potom zaplatia?
9: Mao a Eo chodia u druh rok na kung-fu a chc sa naui nejak trningov metdu na zlepenie derov. Tak sa sptali Mirky, ktor chodila kedysi dvno na karate a ona im poradila toto: "Na tabuu si nakreslite tvorekovan sie n x n a udierajte do tvorekov. Tam kde udrie Eo si napte 1, tam kde udrie Mao, napte -1. Nemuste sa strieda a nikdy neudierajte do tvorekov, kde u je nieo napsan." Tak aj urobili. Mao sa snail udiera z celej sily, aby kad vedel, e to udiera Martin Vojtek z Nitry, a po krtkom ase si zranil ruku. Eo udieral viac technicky, take si ruku (ani ni in) nezranil. Ale nechcelo sa mu udiera sammu, tak skonil aj on. Potom Mao dopsal (zdravou rukou) nuly do vetkch polok, do ktorch ete nikto neudrel a Eo urobil sty v kadom riadku, stpci a na dvoch hlavnch diagonlach. Zistite, i takto mohol dosta vetky sla navzjom rzne.

 

úvod | zadania | poradie | vzoráky | debata | sústredenia | výlety | zajo & miro